A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, calcule P(3.

Passo 1

Beleza, o que o exercício tá pedindo?
Temos uma variável contínua X com densidade
f(x)= A,x^2 + B,x, & 1 <= x <= 9, 0, & caso contrário á
A matéria envolvida aqui é Probabilidade Contínua:
  1. Precisamos achar e usando duas condições básicas de uma PDF:
    • Normalização: .
    • Valor esperado dado: .
  2. Depois, com e em mão, a gente calcula
    .

Passo 2

Normalização:
integral1^9l(Ax^2+Bxr),dx = Aintegral1^9x^2dx ;+; Bintegral1^9x,dx = A[x^33]1^9 + B[x^22]1^9
Calculando:
= Acdot9^3-1^33 ;+; Bcdot9^2-1^22 = 7283A ;+; 40B = 1
Essa é a Equação (1):
7283A + 40B =1

Passo 3

Condição de média integral1^9 x,(Ax^2+Bx),dx = Aintegral1^9x^3dx + Bintegral1^9x^2dx = A[x^44]1^9 + B[x^33]1^9 :
= Acdot9^4-14 + Bcdot9^3-13 = 1640A + 7283B =5
Calculando:
1640A + 7283B =5
Essa é a Equação (2):

Passo 4

Agora a gente resolve o sistema
7283A + 40B =1, 1640A + 7283B =5
Fazendo as contas (substituição ou eliminação), encontra-se
A = -3472, B = 15236

Passo 5

Por fim, a probabilidade pedida:
P(3
Calculando e substituindo P(3 e :

Resposta

.

Exercícios relacionados