A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, calcule a variância de X.

Passo 1

Beleza, temos uma v.a. contínua f(x)= A,x^2 + B,x, & 1 <= x <= 9, 0, & caso contrário com densidade
á
E sabemos que a média (esperança) é .
O que precisamos usar:
  1. A condição de normalização .
  2. A definição de esperança .
  3. A definição de variância .

Passo 2

Primeiro, vamos achar integral1^9 l(Ax^2 + Bxr),dx = 1 e integral1^9 Ax^2,dx = A,x^33|1^9 = A9^3 - 1^33 = A7283, .
  1. Normalização
integral1^9 Bx,dx = B,x^22|1^9 = B9^2 -1^22 = 40B
Calculemos
7283,A + 40,B = 1
integral1^9 x,(Ax^2 + Bx),dx = 5
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integral1^9 A x^3,dx = A,x^44|1^9 = A65604=1640A,
  1. Esperança é 5
integral1^9 B x^2,dx = B,x^33|1^9 = B7283
Isso dá
1640,A + 7283,B = 5
7283A + 40B = 1, 1640A + 7283B = 5,
Portanto
A = -3472, B = 15236
Resolvendo o sistema
encontramos

Passo 3

Agora queremos E(X^2) = integral1^9 x^2,(A x^2 + B x),dx = Aintegral1^9 x^4,dx + Bintegral1^9 x^3,dx :
integral1^9 x^4,dx = x^55|1^9 = 590485, integral1^9 x^3,dx = 65604 = 1640
Cálculos:
E(X^2) = A590485 + Bcdot1640 = -3472cdot590485 ;+;15236cdot1640 = 8607295approx 29,1763
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Passo 4

Finalmente, a variância
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 8607295 - 5^2 = 8607295 - 25 = 1232295approx 4,1763

Resposta

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