A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é para e para os demais valores de x. Sabendo que , calcule as constantes A e B.
Calcule a variância de .
Passo 1
Beleza, então o exercício é o seguinte: temos uma variável contínua X cuja densidade é
e já sabemos que a expectativa é . Precisamos encontrar as constantes e , e depois calcular a variância .
Para isso vamos usar:
A condição de normalização
A fórmula da média
A fórmula da variância , onde .
Passo 2
Primeiro, impondo :
Calculemos os integrais básicos:
Logo a equação de normalização vira
Passo 3
Agora a condição da média :
Já sabemos . Falta :
Então a equação da média é
Passo 4
Temos o sistema linear em :
Resolvendo (fazendo um pouco de álgebra):
Passo 5
Falta a variância. Primeiro E(X^2)=integral1^9 x^2,(A,x^2 + B,x),dx = Aintegral1^9 x^4,dx ;+; Bintegral1^9 x^3,dx :