A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, calcule as constantes A e B.
Calcule a variância de X.

Passo 1

Beleza, então o exercício é o seguinte: temos uma variável contínua X cuja densidade é
f(x)=A,x^2 + B,xpara 1<= x<=9, f(x)=0 caso contrário, á
e já sabemos que a expectativa é . Precisamos encontrar as constantes e , e depois calcular a variância .
Para isso vamos usar:
  1. A condição de normalização
  2. A fórmula da média
  3. A fórmula da variância , onde
    .

Passo 2

Primeiro, impondo integral1^9 (A,x^2 + B,x),dx = Aintegral1^9 x^2,dx ;+; Bintegral1^9 x,dx =1 :
Acdot7283 ;+; Bcdot 40 ;=; 1
Calculemos os integrais básicos:


Logo a equação de normalização vira

Passo 3

Agora a condição da média integral1^9 x,(A,x^2 + B,x),dx = Aintegral1^9 x^3,dx + Bintegral1^9 x^2,dx = 5 :
Acdot 1640 ;+; Bcdot7283 ;=; 5
Já sabemos . Falta :

Então a equação da média é

Passo 4

Temos o sistema linear em 7283A + 40,B = 1,[6pt] 1640,A + 7283B = 5 :
A = -3472approx -0.0063559, B = 15236approx 0.0635593
Resolvendo (fazendo um pouco de álgebra):

Passo 5

Falta a variância. Primeiro E(X^2)=integral1^9 x^2,(A,x^2 + B,x),dx = Aintegral1^9 x^4,dx ;+; Bintegral1^9 x^3,dx :
E(X^2) = Acdot590485 ;+; Bcdot 1640 = 8607295approx 29.17
Já temos Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 8607295 - 5^2 = 1232295approx 4.178 . Falta

Então
Logo

Resposta

A = ,
B = ,

Exercícios relacionados