A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, calcule as constantes A e B.
Faça o gráfico de distribuição acumulada, F(x), de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua X com densidade
f(x)=A,x^2+B,xpara 1<= x<=9,
e zero fora disso. Sabemos que a média E(X)=5 e precisamos achar os constantes A e B, além de traçar a função de distribuição acumulada
F(x)=integral-infty^x f(t),dt
Vamos usar dois fatos da teoria de variáveis contínuas:
  1. A integral de f em todo o eixo deve dar 1 (normalização).
  2. A integral de x,f(x) em todo o eixo dá a média mu=5.

Passo 2

Normalização:
integral1^9(A,x^2+B,x),dx=1
Calculando:
integral1^9A,x^2,dx = Al[tfracx^33r]1^9 = A9^3-1^33 = A729-13 = 7283A,
integral1^9B,x,dx = Bl[tfracx^22r]1^9 = B9^2-1^22 = B81-12 = 40B
Somando:
7283A;+;40B=1 tag1

Passo 3

Média = 5:
integral1^9x,(A,x^2+B,x),dx =5
Isso dá
integral1^9A,x^3,dx = Al[tfracx^44r]1^9 = A9^4-14 = A6561-14 =1640A,
integral1^9B,x^2,dx = Bl[tfracx^33r]1^9 = B729-13 = 7283B
Então
1640A + 7283B = 5 tag2
Agora resolvemos o sistema (1) e (2). Fazendo eliminação dá
A = -3472, B = 15236

Passo 4

Função de distribuição acumulada F(x) é
F(x)= 0, & x<1,[6pt] integral1^x(A,t^2+B,t),dt, & 1<= x<=9,[8pt] 1, & x>9
Para 1<= x<=9 fazemos a integral:
F(x) = Al[tfract^33r]1^x + Bl[tfract^22r]1^x = Ax^3-13+Bx^2-12

Passo 5

O gráfico de F(x) é uma curva que vale zero até x=1, sobe suavemente (forma de curva cúbica/quadrática) de 0 em x=1 até 1 em x=9, e fica em 1 para x>=9.

Resposta

A = -dfrac3472,
B = dfrac15236,
e
F(x)= 0, & x<1,[6pt] -dfrac3472,dfracx^3-13 ;+;dfrac15236,dfracx^2-12, & 1<= x<=9,[8pt] 1, & x>9

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