A densidade em qualquer ponto de uma làmina semicircular de raio
é proporcional à distância do ponto ao centro do círculo. Determine a massa da lâmina. Sua resposta vai depender da constante de propor cionalidade e do raio do semicículo
.
Passo 1
O enunciado fala de uma lâmina semicircular de raio
cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro. Chamando de
a constante de proporcionalidade, a densidade é
onde
é a distância ao centro. O conteúdo aqui é cálculo de massa via integral dupla de densidade sobre a região do semicículo.
Passo 2
Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas polares
, em que o semicírculo corresponde a
e o elemento de área é
. A densidade em função de
é
.
Passo 3
A massa total é
Podemos separar as integrais em parte angular e radial.
Passo 4
Na parte radial, surge
Passo 5
Na parte angular,
Juntando tudo obtemos