A densidade em qualquer ponto de uma làmina semicircular de raio R é proporcional à distância do ponto ao centro do círculo. Determine a massa da lâmina. Sua resposta vai depender da constante de propor cionalidade e do raio do semicículo R.

Passo 1

O enunciado fala de uma lâmina semicircular de raio R cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro. Chamando de k a constante de proporcionalidade, a densidade é
rho(r)=k,r,
onde r é a distância ao centro. O conteúdo aqui é cálculo de massa via integral dupla de densidade sobre a região do semicículo.

Passo 2

Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas polares (r,theta), em que o semicírculo corresponde a
0<= r<= R, 0<=theta<=pi,
e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. A densidade em função de r é rho(r)=k,r.

Passo 3

A massa total é
M=integral duplasemicírculorho(r),dA =integraltheta=0^piintegralr=0^Rk,r;l(r,dr,dthetar) í
Podemos separar as integrais em parte angular e radial.

Passo 4

Na parte radial, surge
integral0^Rr^2,dr =gl[r^33gr]0^R =R^33

Passo 5

Na parte angular,
integral0^pidtheta=pi
Juntando tudo obtemos
M =kunderbracel(integral0^pidthetar)pi underbracel(integral0^Rr^2,drr)R^3/3 =kpi R^33

Resposta

M=kpi R^33

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