Encontre o volume do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados e o plano
3 x+2 y+z=6

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0) limitado pelos planos coordenados e pelo plano
3x + 2y + z = 6
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla.

Passo 2

Para parametrizar a região, isolamos z no plano:
z = 6 - 3x - 2y,
e então temos as seguintes restrições:
0 <= z <= 6 - 3x - 2y, 0 <= y <= 6 - 3x2, 0 <= x <= 2,
pois o intercepto em x é x=2, em y é y=3 e em z é z=6.

Passo 3

O volume V é dado pela integral tripla
V = integralx=0^2!integraly=0^tfrac6-3x2!integralz=0^6-3x-2y dz,dy,dx
Primeiro fazemos a integral em z:
integral0^6-3x-2ydz = 6 - 3x - 2y
Então
V = integral0^2!integral0^tfrac6-3x2(6 - 3x - 2y),dy,dx

Passo 4

Integramos em y:
integral0^tfrac6-3x2(6 - 3x - 2y),dy = l[(6 - 3x)y - y^2r]0^6-3x2 = (6 - 3x)6-3x2 - l(6-3x2r)^2
Simplificando:
= (6-3x)^22 - (6-3x)^24 = (6-3x)^24
Agora em x:
V = integral0^2(6-3x)^24,dx = 14integral0^29(2 - x)^2,dx = 94integral0^2(2 - x)^2,dx
Fazendo a integral por substituição u=2-x:
integral0^2(2 - x)^2,dx = integral2^0u^2(-du) = integral0^2u^2,du = u^33|0^2 = 83
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V = 94cdot83 = 6

Resposta

O volume do sólido é 6.

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