Determine os valores de a, b e c para os quais a função
f(x)=a x^2+b x+c
tenha as seguintes propriedades:
  • f^prime(4)=1;
  • f^prime(-8)=-1;
  • passe no ponto (2,15).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de a , b e c na função quadrática:
f(x) = a x^2 + b x + c
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, além de resolver um sistema de equações. Vamos precisar calcular a derivada da função, usar as condições dadas sobre a derivada em pontos específicos e garantir que a função passe por um ponto determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f(x) . A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto x . Para uma função quadrática, a derivada é:
f'(x) = 2a x + b
Isso significa que a inclinação da função depende de x , a e b .

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira condição: f'(4) = 1 . Substituindo x = 4 na derivada:
2a cdot 4 + b = 1 8a + b = 1
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 4

Em seguida, usamos a segunda condição: f'(-8) = -1 . Substituindo x = -8 na derivada:
2a cdot (-8) + b = -1 -16a + b = -1
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações:
8a + b = 1 -16a + b = -1
Para resolver, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(8a + b) - (-16a + b) = 1 - (-1) 24a = 2 a = 224 a = 112

Passo 6

Com o valor de a encontrado, vamos substituir na primeira equação para achar b :
8 cdot 112 + b = 1 812 + b = 1 23 + b = 1 b = 1 - 23 b = 13

Passo 7

Por fim, usamos a terceira condição que diz que a função passa pelo ponto (2, 15) . Isso significa que f(2) = 15 . Substituindo x = 2 , a = 112 e b = 13 na função original:
f(2) = 112 cdot (2)^2 + 13 cdot 2 + c = 15 112 cdot 4 + 23 + c = 15 412 + 23 + c = 15 13 + 23 + c = 15 1 + c = 15 c = 14

Resposta

Os valores são a = 112 , b = 13 e c = 14 .

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