Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de , e na função quadrática:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, além de resolver um sistema de equações. Vamos precisar calcular a derivada da função, usar as condições dadas sobre a derivada em pontos específicos e garantir que a função passe por um ponto determinado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto . Para uma função quadrática, a derivada é:
Isso significa que a inclinação da função depende de , e .
Passo 3
Agora, vamos usar a primeira condição: . Substituindo na derivada:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 4
Em seguida, usamos a segunda condição: . Substituindo na derivada:
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações:
Para resolver, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(8a + b) - (-16a + b) = 1 - (-1) 24a = 2 a = 224 a = 112
Passo 6
Com o valor de a encontrado, vamos substituir na primeira equação para achar b :
8 cdot 112 + b = 1 812 + b = 1 23 + b = 1 b = 1 - 23 b = 13
Passo 7
Por fim, usamos a terceira condição que diz que a função passa pelo ponto (2, 15) . Isso significa que f(2) = 15 . Substituindo x = 2 , a = 112 e b = 13 na função original:
f(2) = 112 cdot (2)^2 + 13 cdot 2 + c = 15 112 cdot 4 + 23 + c = 15 412 + 23 + c = 15 13 + 23 + c = 15 1 + c = 15 c = 14