6 Uma esfera metálica de raio 2,0 cm é carregada com uma carga de 5,0 mu C, que se espalha uniformemente sobre a superfície da esfera. A esfera metálica está sobre um suporte isolado e é cercada por uma casca esférica metálica maior, de raio interno 5,0 cm e raio externo 6,0 cm. Agora, uma carga de -5,0 mu C é colocada uniformemente sobre a superfície interna da casca. Se o potencial é zero no infinito, qual é o potencial (a) da casca esférica, (b) da esfera, (c) do espaço entre as duas, (d) dentro da esfera e (e) fora da casca?

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas concêntricas: uma esfera metálica de raio 2,0,cm com carga +5,0,muC na sua superfície, e uma casca metálica externa com raio interno 5,0,cm e externo 6,0,cm, onde foi depositada carga -5,0,muC na superfície interna. Adotamos como V(infty)=0. O conteúdo a usar inclui Lei de Gauss para campo esférico, condutores equipotenciais e cálculo de potencial via integral de campo.

Passo 2

Na casca externa não há campo eletrostático dentro do metal (entre 5,0 e 6,0,cm) nem do lado de fora (pelo somatório de cargas +5,0,muC-5,0,muC=0), logo E=0 nessas regiões. Como V(infty)=0 e não há variação de V até a superfície externa, concluímos que o potencial da casca é zero:
Vcasca=0

Passo 3

Para a esfera interna aplicamos Gauss em a<r<b com a=0,02,m, b=0,05,m, carga Q=+5,0times10^-6,C. O campo é
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2
O potencial da esfera é
V(a)-V(b)=-integralb^aE(r),dr
e como V(b)=0 segue
Vesfera=V(a)=14pivarepsilon0,Ql(1a-1br)
Substituindo numericamente:
Vesfera=1,35times10^6,V

Passo 4

No espaço entre 0,02<r<0,05,m temos
V(r)=-integralb^r14pivarepsilon0,Qr'^2,dr' =14pivarepsilon0,Ql(1r-1br)

Passo 5

Dentro da esfera ( r<0,02,m), o campo é nulo, logo o potencial é constante e igual a V(a):
V(r<0,02,m)=1,35times10^6,V

Passo 6

Fora da casca ( r>0,06,m), não há campo, então o potencial é constante igual a Vcasca=0:
V(r>0,06,m)=0

Resposta

(a) Vcasca=0,V
(b) Vesfera=1,35times10^6,V
(c) V(r)=14pivarepsilon0,Ql(tfrac1r-tfrac10,05r) para 0,02<r<0,05,m
(d) V(r<0,02,m)=1,35times10^6,V
(e) V(r>0,06,m)=0,V

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