2.20 Uma linha de cargas uniforme de
está situada ao longo de toda a extensão dos três eixos coordenados. Considerando as condições do espaço livre, determine
em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o campo elétrico em um ponto específico:
- Densidade linear de carga:
- Existem três linhas de carga infinitas, cada uma ocupando toda a extensão de um dos eixos coordenados: eixo
, eixo e eixo . - Espaço livre (vácuo), ou seja, permittividade
vale - Ponto onde queremos
: . Todas as coordenadas estão em metros (assumo unidades do SI). - O que se pede: determinar o vetor campo elétrico
em resultante da soma das contribuições das três linhas de carga.
Passo 2
Qual fórmula usamos para o campo de uma linha de carga infinita e por quê?
- Para uma linha de carga infinita e uniformemente carregada com densidade linear
, a simetria cilíndrica e a Lei de Gauss levam à magnitude do campo à distância radial da linha:
Aqui:
-
é a densidade linear de carga (C/m). -
é a permissividade do vácuo. -
é a distância perpendicular da linha ao ponto onde calculamos o campo. - A direção do campo é radial (no plano perpendicular à linha) e aponta para fora da linha quando
.
Vamos aplicar essa fórmula separadamente para cada eixo (cada eixo é uma linha infinita de carga) e somar vetorialmente as contribuições.
Passo 3
Determinar a distância perpendicular do ponto
a cada eixo e o vetor radial (vetor do eixo até o ponto):
- Distância perpendicular à linha no eixo
: pontos do eixo têm coordenadas . O vetor do eixo até é . Logo
- Distância perpendicular à linha no eixo
: vetor do eixo até é . Logo
- Distância perpendicular à linha no eixo
: vetor do eixo até é . Logo
Esses
são as distâncias que entram na fórmula do campo da linha.
Passo 4
Calcular o fator comum
(vou chamar de
):
Este
já tem as unidades de campo elétrico (N/C ou V/m) e será dividido por cada distância perpendicular para obter a magnitude de cada contribuição.
Passo 5
Calcular as magnitudes das contribuições de cada linha usando
:
Essas são magnitudes; agora precisamos colocar direção vetorial para cada uma.
Passo 6
Encontrar os versores (vetores unitários) que apontam radialmente do eixo até
:
- Para o eixo
: vetor do eixo até é . O versor é
- Para o eixo
: vetor do eixo até é . O versor é
- Para o eixo
: vetor do eixo até é . O versor é
Nota: os sinais aparecem naturalmente pelas coordenadas; como
, o campo aponta “para fora” de cada eixo, ou seja, na mesma direção do vetor do eixo até o ponto.
Passo 7
Multiplicar as magnitudes pelos versores para obter os vetores de campo de cada linha:
- Contribuição da linha no eixo
:
- Contribuição da linha no eixo
:
- Contribuição da linha no eixo
:
Passo 8
Somar vetorialmente as três contribuições componente a componente para obter
total em
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Arredondando de forma compatível com os dados (três algarismos significativos), podemos escrever: