2.20 Uma linha de cargas uniforme de 120 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está situada ao longo de toda a extensão dos três eixos coordenados. Considerando as condições do espaço livre, determine \mathbf{E} em P(-3,2,-1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o campo elétrico em um ponto específico:
  • Densidade linear de carga: \lambda = 120\\ \mathrm{nC/m} = 120\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • Existem três linhas de carga infinitas, cada uma ocupando toda a extensão de um dos eixos coordenados: eixo x, eixo y e eixo z.
  • Espaço livre (vácuo), ou seja, permittividade \epsilon_0 vale \epsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Ponto onde queremos \mathbf{E}: P(-3,2,-1). Todas as coordenadas estão em metros (assumo unidades do SI).
  • O que se pede: determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P resultante da soma das contribuições das três linhas de carga.

Passo 2

Qual fórmula usamos para o campo de uma linha de carga infinita e por quê?
  • Para uma linha de carga infinita e uniformemente carregada com densidade linear \lambda, a simetria cilíndrica e a Lei de Gauss levam à magnitude do campo à distância radial r da linha:
E_{\text{linha}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.
Aqui:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m).
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • r é a distância perpendicular da linha ao ponto onde calculamos o campo.
  • A direção do campo é radial (no plano perpendicular à linha) e aponta para fora da linha quando \lambda>0.
Vamos aplicar essa fórmula separadamente para cada eixo (cada eixo é uma linha infinita de carga) e somar vetorialmente as contribuições.

Passo 3

Determinar a distância perpendicular do ponto P(-3,2,-1) a cada eixo e o vetor radial (vetor do eixo até o ponto):
  • Distância perpendicular à linha no eixo x: pontos do eixo x têm coordenadas (x,0,0). O vetor do eixo até P é (0,2,-1). Logo
r_x=\sqrt{0^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\approx2{,}2361.
  • Distância perpendicular à linha no eixo y: vetor do eixo até P é (-3,0,-1). Logo
r_y=\sqrt{(-3)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\approx3{,}1623.
  • Distância perpendicular à linha no eixo z: vetor do eixo até P é (-3,2,0). Logo
r_z=\sqrt{(-3)^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}\approx3{,}6056.
Esses r_x,r_y,r_z são as distâncias que entram na fórmula do campo da linha.

Passo 4

Calcular o fator comum \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} (vou chamar de K):
K=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}=\frac{120\times10^{-9}}{2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}} \approx 2{,}1541\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
Este K já tem as unidades de campo elétrico (N/C ou V/m) e será dividido por cada distância perpendicular para obter a magnitude de cada contribuição.

Passo 5

Calcular as magnitudes das contribuições de cada linha usando E=K/r:
E_x=\frac{K}{r_x}=\frac{2{,}1541\times10^{3}}{\sqrt{5}}\approx 963{,}8\\ \mathrm{N/C},
E_y=\frac{K}{r_y}=\frac{2{,}1541\times10^{3}}{\sqrt{10}}\approx 681{,}5\\ \mathrm{N/C},
E_z=\frac{K}{r_z}=\frac{2{,}1541\times10^{3}}{\sqrt{13}}\approx 597{,}6\\ \mathrm{N/C}.
Essas são magnitudes; agora precisamos colocar direção vetorial para cada uma.

Passo 6

Encontrar os versores (vetores unitários) que apontam radialmente do eixo até P:
  • Para o eixo x: vetor do eixo até P é (0,2,-1). O versor é
\hat{r}_x=\frac{1}{\sqrt{5}}\,(0,2,-1)=(0,\;0{,}894427,\;-0{,}447214).
  • Para o eixo y: vetor do eixo até P é (-3,0,-1). O versor é
\hat{r}_y=\frac{1}{\sqrt{10}}\;(-3,0,-1)=(-0{,}948683,\;0,\;-0{,}316228).
  • Para o eixo z: vetor do eixo até P é (-3,2,0). O versor é
\hat{r}_z=\frac{1}{\sqrt{13}}\;(-3,2,0)=(-0{,}832050,\;0{,}554700,\;0).
Nota: os sinais aparecem naturalmente pelas coordenadas; como \lambda>0, o campo aponta “para fora” de cada eixo, ou seja, na mesma direção do vetor do eixo até o ponto.

Passo 7

Multiplicar as magnitudes pelos versores para obter os vetores de campo de cada linha:
  • Contribuição da linha no eixo x:
\mathbf{E}_x = E_x\,\hat{r}_x \approx 963{,}8\,(0,\;0{,}894427,\;-0{,}447214) =(0,\;861{,}917,\;-430{,}959)\\ \mathrm{N/C}.
  • Contribuição da linha no eixo y:
\mathbf{E}_y = E_y\,\hat{r}_y \approx 681{,}5\,(-0{,}948683,\;0,\;-0{,}316228) =(-646{,}768,\;0,\;-215{,}485)\\ \mathrm{N/C}.
  • Contribuição da linha no eixo z:
\mathbf{E}_z = E_z\,\hat{r}_z \approx 597{,}6\,(-0{,}832050,\;0{,}554700,\;0) =(-497{,}411,\;331{,}548,\;0)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Somar vetorialmente as três contribuições componente a componente para obter \mathbf{E} total em P:
  • Componente x:
E_x^{\text{total}}=0 + (-646{,}768) + (-497{,}411) = -1{,}144{,}179\\ \mathrm{N/C}.
  • Componente y:
E_y^{\text{total}}=861{,}917 + 0 + 331{,}548 = 1{,}193{,}465\\ \mathrm{N/C}.
  • Componente z:
E_z^{\text{total}}=-430{,}959 + (-215{,}485) + 0 = -646{,}444\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando de forma compatível com os dados (três algarismos significativos), podemos escrever:
\mathbf{E}(P)\approx(-1{,}14\times10^{3},\;1{,}19\times10^{3},\;-6{,}46\times10^{2})\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\mathbf{E}(P)=(-1{,}14\times10^{3},\;1{,}19\times10^{3},\;-6{,}46\times10^{2})\\ \mathrm{N/C}

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