A densidade da variável aleatória Y, que representa o tempo de digitação (em minutos) por secretárias experientes, é:
f(y)=ll14, & 0 <= y<2 18, & 2 <= y <= 6 0, & caso contrário á
Calcule:
Esperança, variância de Y.

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória
e pede a esperança e a variância de é diferente.]

Passo 2

Para calcular E[Y] aplicamos
E[Y] = integral0^2 ycdot14,dy ;+; integral2^6 ycdot18,dy
No primeiro termo:
integral0^2 ycdot14,dy = 14,gl[y^22gr]0^2 = 14,cdot42 = 12
No segundo termo:
integral2^6 ycdot18,dy = 18,gl[y^22gr]2^6 = 18,cdot36-42 = 2
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E[Y] = 12 + 2 = 52 = 2,5

Passo 3

Para obter Var(Y) precisamos de E[Y^2]. Calculamos
E[Y^2] = integral0^2 y^2cdot14,dy ;+; integral2^6 y^2cdot18,dy
No primeiro trecho:
integral0^2 y^2cdot14,dy = 14,gl[y^33gr]0^2 = 14,cdot83 = 23
No segundo trecho:
integral2^6 y^2cdot18,dy = 18,gl[y^33gr]2^6 = 18,cdot216-83 = 263
Assim
E[Y^2] = 23 + 263 = 283

Passo 4

Agora a variância é
Var(Y) = E[Y^2] - l(E[Y]r)^2 = 283 - l(tfrac52r)^2 = 283 - 254 = 112 - 7512 = 3712

Resposta

Esperança: E[Y]=2,5 minutos
Variância: Var(Y)=dfrac3712approx3,0833 minutos²

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