Uma densidade volumétrica de carga é dada por
rho(r)= 2 e^-r / b & para 0<r<b 0 & nos demais lugares
Determine:
(a) A carga total dentro de uma superfície esférica de raio b;
(b) O fluxo de campo elétrico na superfície de raio b.

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade volumétrica de carga esférica e simétrica
rho(r)= 2,e^-r/b,&0<r<b, 0,&caso contrário á
Precisamos (a) calcular a carga total Q contida dentro de uma esfera de raio b usando integração em coordenadas esféricas e (b) obter o fluxo do campo elétrico nessa superfície aplicando a Lei de Gauss.

Passo 2

A carga total Q é dada por
Q=integralVol rho(r),dV
Em coordenadas esféricas, dV=4pi r^2,dr e a densidade é não nula só de r=0 a r=b. Logo,
Q = integral0^b 2,e^-r/b,4pi r^2,dr = 8pi integral0^b r^2 e^-r/b,dr

Passo 3

Para avaliar
I=integral0^b r^2 e^-r/b,dr
faço a mudança de variável u=r/b, de modo que r=b,u e dr=b,du. Então
I = integral0^1 (b,u)^2 e^-u,b,du = b^3 integral0^1 u^2 e^-u,du
O integral padrão é
integral0^1 u^2 e^-u,du =l[-(u^2+2u+2)e^-ur]0^1 = l[-5e^-1r] - l[-2r] =2 - tfrac5e
Portanto I = b^3l(2 - 5e^-1r).

Passo 4

Substituindo em Q, obtemos
Q = 8pi,I = 8pi,b^3l(2 - 5e^-1r)

Passo 5

Pela Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície esférica de raio b é
Phi = Qvarepsilon0 = 8pi,b^3varepsilon0,l(2 - 5e^-1r)

Resposta

(a) Q = 8pi,b^3l(2 - 5e^-1r)
(b) Phi = dfrac8pi,b^3varepsilon0l(2 - 5e^-1r)

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