Uma densidade volumétrica uniforme de cargas rho=80 mu C / m^3 está presente na região 8 m m<r< 10 mm . Seja rho=0 para a região 0<r<8 mm.
(a) Encontre a carga total dentro da superfície esférica com raio r=10 mm. Resp.: 164 p C
(b) Encontre o campo elétrico em r=10 mm. Resp.: E=(14,7 times 10^3 N / C) r

Passo 1

O enunciado descreve uma densidade volumétrica uniforme de cargas
rho=80;muC/m^3 presente apenas na casca esférica 8,mm<r<10,mm, e nula para 0<r<8,mm.
(a) pede a carga total Q contida numa esfera de raio r=10,mm.
(b) pede o campo elétrico vec E em r=10,mm.
Usaremos integração de volume para Q e a Lei de Gauss para vec E.

Passo 2

Para calcular a carga total, integramos
Q=integralcascarho,dV
em coordenadas esféricas, onde dV=4pi r^2,dr. Logo,
Q=rhointegralr=0,008^0,014pi r^2,dr =rhocdot4pi3l(r^3|0,008^0,01r) =rho;4pi3l(0,01^3-0,008^3r)

Passo 3

Substituindo rho=80times10^-6,C/m^3, 0,01^3=1,0times10^-6,m^3 e 0,008^3=5,12times10^-7,m^3, temos
Q=80times10^-6;4pi3l(1,0times10^-6-5,12times10^-7r) approx1,64times10^-10,C =164,pC

Passo 4

Para o campo em r=0,01,m usamos a Lei de Gauss em superfície esférica:
E,(4pi r^2)=Qvarepsilon0 Longrightarrow E=Q4pivarepsilon0,r^2

Passo 5

Com Q=1,64times10^-10,C, r=0,01,m e varepsilon0=8,854times10^-12,F/m,
E=1,64times10^-104pi,(8,854times10^-12),(0,01)^2 approx1,47times10^4,N/C

Resposta

(a) Q=164;pC
(b) vec E=l(14,7times10^3,N/Cr),hat r

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