Qual é a velocidade necessária de um relógio para que o intervalo de tempo medido por um observador em repouso seja o dobro do intervalo de tempo medido no referencial do próprio relógio?

Passo 1

O enunciado quer saber quão rápido um relógio tem que se mover para que um observador em repouso meça um intervalo de tempo De<a t igual a duas vezes o intervalo próprio De<a tau marcado pelo próprio relógio. O conteúdo é a dilatação do tempo na Relatividade Especial, e vamos usar a fórmula que relaciona o tempo próprio e o tempo dilatado.

Passo 2

A fórmula da dilatação do tempo é
De<a t = gamma,De<a tau,
onde
gamma = 1raiz1 - v^2/c^2
é o fator de Lorentz, v é a velocidade do relógio e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Queremos que De<a t = 2,De<a tau. Substituindo na expressão da dilatação:
2,De<a tau = gamma,De<a tau Longrightarrow gamma = 2

Passo 4

Impondo gamma=2:
2 = 1raiz1 - v^2/c^2 Longrightarrow raiz1 - v^2c^2 = 12 Longrightarrow 1 - v^2c^2 = 14
Logo,
v^2c^2 = 1 - 14 = 34 Longrightarrow v = c,raiz34 = raiz32,c

Resposta

v = raiz32,c approx 0,866,c

Exercícios relacionados