Quão rápido deve mover-se um objeto de um metro para observar que o seu comprimento se contraiu para 50 cm ?

Passo 1

O enunciado pergunta a que velocidade um objeto de comprimento próprio de 1 m deve estar se movendo para que, segundo um observador em repouso em relação ao qual ele se move, o seu comprimento seja reduzido a 0,5 m. O conteúdo aqui é o fenômeno de contração de Lorentz, que diz que o comprimento medido na direção do movimento é
L = L0 ,raiz1 - v^2c^2,
onde L0 é o comprimento próprio, L o comprimento contraído, v a velocidade do objeto e c a velocidade da luz.

Passo 2

Começamos substituindo L0 = 1 m e L = 0,5 m na fórmula de contração:
0,5 = 1 ,raiz1 - v^2c^2
Isso simplifica para
raiz1 - v^2c^2 = 0,5

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
1 - v^2c^2 = 0,5^2 = 0,25
Logo
v^2c^2 = 1 - 0,25 = 0,75

Passo 4

Definindo beta = v/c, temos
beta^2 = 0,75 Longrightarrow beta = raiz0,75 = raiz32approx 0,866
Portanto
v = beta,c = raiz32,c approx 0,866,c
Como capprox3times10^8 m/s, isso dá
v approx 0,866 times 3times10^8 m/s approx 2,6times10^8 m/s

Resposta

v approx 0,866,c (aproximadamente 2,6times10^8 m/s).

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