A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante ( x , y e z positivos) como sendo , e para todo o espaço restante. Determine a carga total na região: (a) ;
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A densidade volumétrica de carga no primeiro octante é
e queremos achar a carga total
Isso é parte de eletrostática: densidade de carga e integração de volume. Vamos precisar saber como montar e calcular integrais triplas, separar variáveis e integrar exponencial e monômios.
Passo 2
Teoria rapidinha: a carga total numa região é a soma de “pequenas cargas” . Em coordenadas cartesianas, . Logo
Passo 3
Repare que não depende de e não depende de . A gente pode separar a integral assim:
Passo 4
Calcular a parte em :
Como e ,
Então
Passo 5
Agora a parte em integralz=0^1e^-2zdz =l[-tfrac12e^-2zr]0^1 =-tfrac12l(e^-2-1r) =12l(1-e^-2r) :