A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante ( x , y e z positivos) como sendo rhov=10 e^-2 z(x^2+2 y^2) C / m^3, e rho=0 para todo o espaço restante. Determine a carga total na região: (a) 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A densidade volumétrica de carga no primeiro octante é
rhov(x,y,z)=10,e^-2z,l(x^2+2y^2r)l[C/m^3r]
e queremos achar a carga total
Q=integral triplasubstack0<= x<=10<= y<=10<= z<=1rhov,dV
Isso é parte de eletrostática: densidade de carga e integração de volume. Vamos precisar saber como montar e calcular integrais triplas, separar variáveis e integrar exponencial e monômios.

Passo 2

Teoria rapidinha: a carga total numa região é a soma de “pequenas cargas” Q=integralx=0^1integraly=0^1integralz=0^110,e^-2zl(x^2+2y^2r),dz,dy,dx . Em coordenadas cartesianas, . Logo

Passo 3

Repare que Q=10;l[!integralz=0^1e^-2zdzr];l[!integralx=0^1!!integraly=0^1!(x^2+2y^2),dy,dxr] não depende de e não depende de . A gente pode separar a integral assim:

Passo 4

Calcular a parte em integralx=0^1!!integraly=0^1(x^2+2y^2),dy,dx =integralx=0^1x^2l[integraly=0^1dyr]dx +2integraly=0^1y^2l[integralx=0^1dxr]dy :
integral0^1x^2dx=x^33|0^1=13, integral0^1y^2dy=13
Como integralx,y(x^2+2y^2),dy,dx =13+2cdot13 =13+23=1 e ,
Então

Passo 5

Agora a parte em integralz=0^1e^-2zdz =l[-tfrac12e^-2zr]0^1 =-tfrac12l(e^-2-1r) =12l(1-e^-2r) :
Q=10;times;12l(1-e^-2r);times1 =5l(1-e^-2r);C
Multiplicando tudo:

Resposta

boxedQ = 5,l(1 - e^-2r) C

Exercícios relacionados