A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante ( x , y e z positivos) como sendo rhov=10 e^-2 z(x^2+2 y^2) C / m^3, e rho=0 para todo o espaço restante. Determine a carga total na região: (b) 0 <= x+2 y <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que no primeiro octante (x, y, z ≥ 0) a densidade volumétrica de carga é
rhov(x,y,z) = 10,e^-2zl(x^2 + 2y^2r)l[C/m^3r]
e zero fora. A região de interesse é
0 <= x + 2y <= 1, 0 <= z <= 1, x,y>=0
O conteúdo é integração tripla para encontrar a carga total
Q = integral triplaV rhov,dV
Vamos precisar de:
  • Entender o volume no plano e no eixo .
  • Montar o integral .
  • Fazer integrais de polinômios e de exponencial.

Passo 2

Primeiro, desenhando o domínio em 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 - x2 : a condição Q = integralz=0^1 !integralx=0^1 !integraly=0^(1 - x)/2 10,e^-2zl(x^2 + 2y^2r),dy,dx,dz com
E em é bem simples: .
Então a carga total é

Passo 3

Agora a integral interna em integral0^(1 - x)/2 l(x^2 + 2y^2r),dy = underbracex^2integral0^(1 - x)/2dyx^2cdot1 - x2 ;+;2integral0^(1 - x)/2y^2,dy . A gente separa
x^21 - x2 + (1 - x)^312
Calculando cada pedaço:
  1. Q = 10 integralz=0^1 e^-2z,dz ;times; integralx=0^1 l[x^21 - x2 + (1 - x)^312r]dx

  2. Logo a integral em vira
Então agora

Passo 4

Vamos ao integral em :
a)
b)
Somando,

Passo 5

Falta só o integral0^1 e^-2z,dz = l[-tfrac12e^-2zr]0^1 = 1 - e^-22 :
Q = 10;l(tfrac116r);l(tfrac1 - e^-22r) = 1032,(1 - e^-2) = 516,l(1 - e^-2r);C
Então

Resposta

boxedQ = 516,l(1 - e^-2r);C

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