A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante ( x , y e z positivos) como sendo rhov=10 e^-2 z(x^2+2 y^2) C / m^3, e rho=0 para todo o espaço restante. Determine a carga total na região: (a) 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1; (b) 0 <= x+2 y <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a carga total
Q=integral triplaV rhov,dV
onde
no primeiro octante e zero fora.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas.
Vamos precisar:
  1. Saber que .
  2. Escolher a ordem de integração e os limites para cada item.
  3. Separar os termos que dependem só de , ou quando possível.

Passo 2

Item (a): Qa =integralz=0^1!integraly=0^1!integralx=0^1 10,e^-2z(x^2+2y^2),dx,dy,dz .
Então
Qa =10integral0^1 e^-2zdz l[integral0^1!integral0^1(x^2+2y^2),dx,dyr]
  1. Fatoramos Ixy=l(1/3r)cdot1 + l(2/3r)cdot1 =1/3+2/3=1 e Qa=10cdot1-e^-22cdot1 =5,(1-e^-2)(Coulombs) depende só de :
  1. Calcule
  2. Agora

    Separamos:


    E há também a integração do outro variável que é só multiplicar por 1.
    Então
  1. Logo

Passo 3

Item (b): região em Qb =integralz=0^1!e^-2zdz ;times; 10integraly=0^1/2!integralx=0^,1-2y(x^2+2y^2),dx,dy dada por A(y)=integralx=0^1-2y(x^2+2y^2),dx =l[tfracx^33+2y^2xr]0^1-2y =(1-2y)^33+2y^2(1-2y) ; e Ixy=integraly=0^1/2A(y),dy =integral0^1/2l[tfrac(1-2y)^33+2y^2(1-2y)r]dy =116 .
Então
Qb =10;1-e^-22;cdot116 =1032(1-e^-2) =516(1-e^-2)(Coulombs)
  1. Já sabemos
  2. Definimos
  1. Agora
(Dá pra fazer expandindo e integrando termo a termo.)
4) Então

Resposta


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