A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante ( x , y e z positivos) como sendo
, e
para todo o espaço restante. Determine a carga total na região: (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular a carga total
onde
no primeiro octante e zero fora.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas.
Vamos precisar:
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas.
Vamos precisar:
- Saber que
. - Escolher a ordem de integração e os limites para cada item.
- Separar os termos que dependem só de
, ou quando possível.
Passo 2
Item (a):
.
Então
Então
- Fatoramos
e depende só de :
- Calcule
- Agora
Separamos:
E há também a integração do outro variável que é só multiplicar por 1.
Então
- Logo
Passo 3
Item (b): região em
dada por
; e
.
Então
Então
- Já sabemos
- Definimos
- Agora
(Dá pra fazer expandindo e integrando termo a termo.)
4) Então
4) Então