Uma densidade volumétrica de cargas dada por: \rho_{\vee}=\frac{2}{r} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} (a variável " r " se relaciona com a coordenada do raio da esfera). A carga está distribuída em uma esfera com centro na origem. Raio da esfera é de r=3 centímetros. Obtenha o vetor da intensidade de campo elétrico e calcule o valor do seu módulo no ponto “P” situado nas coordenadas (600 ; 300 ;-500) em metros.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
  • Densidade volumétrica de cargas: \rho_{\vee}(r)=\dfrac{2}{r}\\ \mathrm{C/m^{3}}. Aqui r é a coordenada radial (distância ao centro).
  • A carga está distribuída dentro de uma esfera centrada na origem com raio r=3\\ \text{cm}.
  • Ponto onde se quer o campo elétrico: P=(600,\,300,\,-500) em metros.
  • O que pedem:
    • obter o vetor intensidade do campo elétrico \mathbf{E} no ponto P;
    • calcular o valor do módulo |\mathbf{E}| em P.
Observações importantes que tirei do enunciado (sem resolver ainda):
  • Converter o raio para o SI: 3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.
  • A densidade é radial (depende só de r), então a distribuição é esfericamente simétrica dentro da esfera.
  • O ponto P está muito mais longe que o raio da esfera (vamos verificar numericamente), então provavelmente o campo será o equivalente ao de uma carga total Q concentrada na origem (caso r_P>R).

Passo 2

Princípio físico e estratégia (aula rápida e direta):
  • Para distribuições esfericamente simétricas \rho=\rho(r) vale a Lei de Gauss: a componente do campo é radial e, para r fora da distribuição ( r\ge R), o campo se comporta como se toda a carga total Q estivesse concentrada no centro.
  • A Lei de Gauss (em forma integral) é:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • Para simetria esférica, \mathbf{E} é radial e constante em uma superfície esférica de raio r, então para r\ge R obtemos a forma conhecida (Coulombiana):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} \quad\text{o que em componente vetorial fica}\quad \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{3}}\,\mathbf{r},
onde \mathbf{r} é o vetor posição do ponto (a partir da origem) e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
  • Portanto o plano de ataque: calcular a carga total Q_{\text{tot}} da esfera integrando \rho no volume, checar que P está fora ( r_P>R ), e usar a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo da carga total Q_{\text{tot}} contida na esfera:
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=4\pi r^{2}dr ao integrar apenas em função de r (porque a densidade depende só de r e a integração angular produz o fator 4\pi).
  • Assim
Q_{\text{tot}}=\int_{0}^{R}\rho(r)\,dV=\int_{0}^{R}\frac{2}{r}\cdot 4\pi r^{2}\,dr =\int_{0}^{R}8\pi r\,dr.
  • Integrando:
Q_{\text{tot}}=8\pi\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{R}=4\pi R^{2}.
  • Converter o raio para SI: R=3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}. Então
Q_{\text{tot}}=4\pi (0{,}03)^{2}=4\pi\cdot 0{,}0009=0{,}0036\pi\\ \mathrm{C}.
  • Valor numérico:
Q_{\text{tot}}=0{,}0036\pi\approx 0{,}01130973355\\ \mathrm{C}.
Comentário didático curto: apesar de \rho(r)=2/r divergir em r\to0, o fator do volume r^{2} faz com que a integral seja finita (integrando r dá comportamento regular). Isso é importante: singularidade de densidade nem sempre implica carga infinita.

Passo 4

Coordenadas do ponto P e verificação de que está fora da esfera:
  • Ponto P=(600,\,300,\,-500)\\ \mathrm{m}. Vetor posição \mathbf{r}_{P}=(600,\,300,\,-500)\\ \mathrm{m}.
  • Módulo:
r_{P}=\sqrt{600^{2}+300^{2}+(-500)^{2}}=\sqrt{360000+90000+250000}=\sqrt{700000}.
  • Valor numérico:
r_{P}=\sqrt{700000}\approx 836{,}6600265\\ \mathrm{m}.
  • Comparação com R=0{,}03\\ \mathrm{m}: r_{P}\gg R, logo P está externamente à distribuição. Podemos usar a fórmula de campo para carga total concentrada.

Passo 5

Expressão vetorial do campo para r\ge R e definições:
  • Usando a forma vetorial:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{3}}\,\mathbf{r}.
  • Para simplificar cálculos observe a identidade (porque Q_{\text{tot}}=4\pi R^{2}):
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q_{\text{tot}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi R^{2}=\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}.
Portanto uma forma conveniente é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • Aqui:
    • R=0{,}03\\ \mathrm{m} (raio da esfera);
    • \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
    • \mathbf{r}=\mathbf{r}_{P} e r=r_{P} conforme calculado.

Passo 6

Cálculos numéricos do fator e do campo (passo a passo, sem pular contas):
  • Calcular R^{2}/\varepsilon_0:
R^{2}=0{,}03^{2}=0{,}0009\\ \mathrm{m^{2}},
\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}=\frac{0{,}0009}{8{,}854187817\times10^{-12}}\approx 1{,}016088967\times10^{8}.
  • Calcular r_{P}^{2} e r_{P}^{3}:
r_{P}^{2}=700000\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad r_{P}^{3}=r_{P}\cdot r_{P}^{2}\approx 836{,}6600265\times700000\approx 5{,}8566201855\times10^{8}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Fator escalar que multiplica \mathbf{r}_{P}:
\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r_{P}^{3}} =\frac{1{,}016088967\times10^{8}}{5{,}8566201855\times10^{8}} \approx 0{,}1735449\\ \mathrm{(N\cdot m/C)/m^{3}}.
(esse fator tem dimensão \mathrm{N/C} por divisão adequada quando multiplicado por \mathbf{r} em metros; mantenha atenção às unidades.)
  • Agora calculo dos componentes:
\mathbf{E}(\mathbf{r}_{P})=\left(\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r_{P}^{3}}\right)\mathbf{r}_{P}.
Portanto
E_x=0{,}1735449\times 600\approx 104{,}12694\\ \mathrm{N/C},
E_y=0{,}1735449\times 300\approx 52{,}06347\\ \mathrm{N/C},
E_z=0{,}1735449\times (-500)\approx -86{,}77245\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Cálculo do módulo |\mathbf{E}| e verificação por forma alternativa:
  • Módulo usando componentes:
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}+E_z^{2}} \approx\sqrt{104{,}12694^{2}+52{,}06347^{2}+(-86{,}77245)^{2}}.
  • Valor numérico:
|\mathbf{E}|\approx 145{,}1556\\ \mathrm{N/C}.
  • Verificação rápida (forma escalar): para r\ge R também vale |\mathbf{E}|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_{\text{tot}}}{r_{P}^{2}}. Usando Q_{\text{tot}}=4\pi R^{2} isso dá
|\mathbf{E}|=\frac{R^{2}}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r_{P}^{2}} =\frac{1{,}016088967\times10^{8}}{700000}\approx 145{,}1556\\ \mathrm{N/C},
o que bate com o resultado obtido pelas componentes (ótimo, consistência feita).

Passo 8

Interpretação final e nota prática:
  • O vetor campo aponta radialmente para fora da origem (porque Q_{\text{tot}}>0), e suas componentes em P são as calculadas.
  • Resultado com casa decimais realistas (arredondando para 2 casas decimais nos componentes e 2 decimais no módulo):
\mathbf{E}(P)\approx (104{,}13)\,\hat{\mathbf{i}}+(52{,}06)\,\hat{\mathbf{j}}+(-86{,}77)\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{N/C},
|\mathbf{E}(P)|\approx 145{,}16\\ \mathrm{N/C}.
Força extra de ânimo: tá tudo certinho — a simetria esférica salvou a vida e permitiu usar Gauss com uma integral simples. Respira; você consegue aplicar isso na prova!

Resposta

\mathbf{E}(P)\approx (104{,}13)\,\hat{\mathbf{i}}+(52{,}06)\,\hat{\mathbf{j}}+(-86{,}77)\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{N/C}\n
|\mathbf{E}(P)|\approx 145{,}16\\ \mathrm{N/C}

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