Uma densidade volumétrica de cargas dada por:
(a variável " r " se relaciona com a coordenada do raio da esfera). A carga está distribuída em uma esfera com centro na origem. Raio da esfera é de
centímetros. Obtenha o vetor da intensidade de campo elétrico e calcule o valor do seu módulo no ponto “P” situado nas coordenadas
em metros.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
- Densidade volumétrica de cargas:
. Aqui é a coordenada radial (distância ao centro). - A carga está distribuída dentro de uma esfera centrada na origem com raio
. - Ponto onde se quer o campo elétrico:
em metros. - O que pedem:
- obter o vetor intensidade do campo elétrico
no ponto ; - calcular o valor do módulo
em .
- obter o vetor intensidade do campo elétrico
Observações importantes que tirei do enunciado (sem resolver ainda):
- Converter o raio para o SI:
. - A densidade é radial (depende só de
), então a distribuição é esfericamente simétrica dentro da esfera. - O ponto
está muito mais longe que o raio da esfera (vamos verificar numericamente), então provavelmente o campo será o equivalente ao de uma carga total concentrada na origem (caso ).
Passo 2
Princípio físico e estratégia (aula rápida e direta):
- Para distribuições esfericamente simétricas
vale a Lei de Gauss: a componente do campo é radial e, para fora da distribuição ( ), o campo se comporta como se toda a carga total estivesse concentrada no centro. - A Lei de Gauss (em forma integral) é:
onde
é a permissividade do vácuo (
).
- Para simetria esférica,
é radial e constante em uma superfície esférica de raio , então para obtemos a forma conhecida (Coulombiana):
onde
é o vetor posição do ponto (a partir da origem) e
.
- Portanto o plano de ataque: calcular a carga total
da esfera integrando no volume, checar que está fora ( ), e usar a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo da carga total
contida na esfera:
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
ao integrar apenas em função de (porque a densidade depende só de e a integração angular produz o fator ). - Assim
- Integrando:
- Converter o raio para SI:
. Então
- Valor numérico:
Comentário didático curto: apesar de
divergir em
, o fator do volume
faz com que a integral seja finita (integrando
dá comportamento regular). Isso é importante: singularidade de densidade nem sempre implica carga infinita.
Passo 4
Coordenadas do ponto
e verificação de que está fora da esfera:
- Ponto
. Vetor posição . - Módulo:
- Valor numérico:
- Comparação com
: , logo está externamente à distribuição. Podemos usar a fórmula de campo para carga total concentrada.
Passo 5
Expressão vetorial do campo para
e definições:
- Usando a forma vetorial:
- Para simplificar cálculos observe a identidade (porque
):
Portanto uma forma conveniente é
- Aqui:
-
(raio da esfera); -
; -
e conforme calculado.
-
Passo 6
Cálculos numéricos do fator e do campo (passo a passo, sem pular contas):
- Calcular
:
- Calcular
e :
- Fator escalar que multiplica
:
(esse fator tem dimensão
por divisão adequada quando multiplicado por
em metros; mantenha atenção às unidades.)
- Agora calculo dos componentes:
Portanto
Passo 7
Cálculo do módulo
e verificação por forma alternativa:
- Módulo usando componentes:
- Valor numérico:
- Verificação rápida (forma escalar): para
também vale . Usando isso dá
o que bate com o resultado obtido pelas componentes (ótimo, consistência feita).
Passo 8
Interpretação final e nota prática:
- O vetor campo aponta radialmente para fora da origem (porque
), e suas componentes em são as calculadas. - Resultado com casa decimais realistas (arredondando para 2 casas decimais nos componentes e 2 decimais no módulo):
Força extra de ânimo: tá tudo certinho — a simetria esférica salvou a vida e permitiu usar Gauss com uma integral simples. Respira; você consegue aplicar isso na prova!