Sabemos que o campo elétrico dentro da região de uma fonte que está no vácuo é descrito por
em que
é uma constante.
Determine a carga elétrica total sabendo que a fonte ocupa o volume de uma esfera com raio unitário centrada na origem.
Determine a carga elétrica total sabendo que a fonte ocupa o volume de uma esfera com raio unitário centrada na origem.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício diz que dentro de uma esfera de raio 1, no vácuo, o campo elétrico é
Queremos achar a carga total que gera esse campo. O tópico é eletrostática, usando a forma diferencial da lei de Gauss:
e depois integrar
no volume para obter
. Vamos precisar da fórmula de divergência em coordenadas esféricas e do fato de que
Passo 2
Em coordenadas esféricas, se
só tem componente radial, então
Aqui
logo
Derivando em
$$\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}E_{r})
=\frac{12}{\epsilon_{0}2\pi{2}};\frac{3r{2}(1-\alpha\cos\phi)}{\sin\theta},.
\nabla\cdot\mathbf{E}
=\frac1{r{2}}\times\frac{12}{\epsilon_{0}2\pi{2}};\frac{3r^{2}(1-\alpha\cos\phi)}{\sin\theta}
=\frac{36}{\epsilon_{0}2\pi^{2}};\frac{1-\alpha\cos\phi}{\sin\theta},. $$
Passo 3
A densidade de carga é
então
$$Q=\int_V\rho,dV
=\epsilon_{0}\int_V(\nabla\cdot\mathbf{E}),dV,.
Q=\epsilon_{0}\int_{0}{1}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}^{2\pi}
\frac{36}{\epsilon_{0}2\pi^{2}};\frac{1-\alpha\cos\phi}{\sin\theta},
r^{2}\sin\theta,d\phi,d\theta,dr,
\frac{36}{\epsilon_{0}2\pi^{2}};\frac{1-\alpha\cos\phi}{\sin\theta},
r^{2}\sin\theta,d\phi,d\theta,dr,
$$
e observa que e
se cancelam.
e observa que
Passo 4
Fica
Agora cada integral:
-
, -
, -
(o termo em some).
Juntando tudo:
Resposta
A carga elétrica total dentro da esfera vale