Sabemos que o campo elétrico dentro da região de uma fonte que está no vácuo é descrito por
E(r)=r 12epsilon0 2 pi^2 r[1-alpha cos (phi)]sin (theta)
em que alpha é uma constante.
Determine a carga elétrica total sabendo que a fonte ocupa o volume de uma esfera com raio unitário centrada na origem.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício diz que dentro de uma esfera de raio 1, no vácuo, o campo elétrico é
E(r)=r,12epsilon0,2pi^2;r,[1-alphacosphi]sintheta,
Queremos achar a carga total que gera esse campo. O tópico é eletrostática, usando a forma diferencial da lei de Gauss:
nablacdotE=rhoepsilon0,,
e depois integrar rho no volume para obter Q. Vamos precisar da fórmula de divergência em coordenadas esféricas e do fato de que
Q=integralVrho,dV=epsilon0integralV(nablacdotE),dV,

Passo 2

Em coordenadas esféricas, se E=Er(r,theta,phi),hat r só tem componente radial, então
nablacdotE=1r^2partialpartial rl(r^2Err),
Aqui
Er=12epsilon02pi^2;r(1-alphacosphi)sintheta,,
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r^2Er=12epsilon02pi^2;r^3(1-alphacosphi)sintheta,
Derivando em r:
$$\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}E_{r})
=\frac{12}{\epsilon_{0}2\pi{2}};\frac{3r{2}(1-\alpha\cos\phi)}{\sin\theta},. partialpartial r(r^2Er) =12epsilon02pi^2;3r^2(1-alphacosphi)sintheta, ã\nabla\cdot\mathbf{E}
=\frac1{r{2}}\times\frac{12}{\epsilon_{0}2\pi{2}};\frac{3r^{2}(1-\alpha\cos\phi)}{\sin\theta}
=\frac{36}{\epsilon_{0}2\pi^{2}};\frac{1-\alpha\cos\phi}{\sin\theta},. $$

Passo 3

A densidade de carga é
rho(r)=epsilon0,nablacdotE,,
então
$$Q=\int_V\rho,dV
=\epsilon_{0}\int_V(\nabla\cdot\mathbf{E}),dV,. Q=integralVrho,dV =epsilon0integralV(nablacdotE),dV,
Q=\epsilon_{0}\int_{0}{1}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}^{2\pi}
\frac{36}{\epsilon_{0}2\pi^{2}};\frac{1-\alpha\cos\phi}{\sin\theta},
r^{2}\sin\theta,d\phi,d\theta,dr,
$$
e observa que dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e Q=epsilon0integral0^1!integral0^pi!integral0^2pi 36epsilon02pi^2;1-alphacosphisintheta, r^2sintheta,dphi,dtheta,dr, se cancelam.

Passo 4

Fica
Q=362pi^2integral0^1r^2dr;integral0^pidtheta;integral0^2pi(1-alphacosphi)dphi
Agora cada integral:
  • integral0^1r^2dr=tfrac13,
  • integral0^pidtheta=pi,
  • integral0^2pi(1-alphacosphi)dphi=2pi (o termo em cosphi some).
    Juntando tudo:
Q=362pi^2times13timespitimes2pi =362pi^2times2pi^23 =12,

Resposta

A carga elétrica total dentro da esfera vale
Q = 12,

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