Uma superfície cilíndrica com s=8 cm contém uma densidade superficial de carga sigma=5 e^-20|z| n C / m^2. Qual o valor total de carga na superfície? Resp.: 0,25 n C

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica infinita de raio s=8 cm=0,08 m e densidade superficial de carga
sigma(z)=5,e^-20|z| nC/ m^2, onde z é a coordenada ao longo do eixo.
Queremos a carga total Q. Para isso, usaremos a fórmula
Q=integral duplasuperfíciesigma,dA í
e, em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dA=s,dphi,dz.

Passo 2

Montamos a integral dupla para Q:
Q=integralz=-infty^inftyintegralphi=0^2pi5,e^-20|z|;s;dphi,dz

Passo 3

Integramos em phi, que não depende de z:
integral0^2pidphi=2pi Longrightarrow Q=5,s,(2pi)integral-infty^inftye^-20|z|,dz

Passo 4

A função e^-20|z| é par, logo
integral-infty^inftye^-20|z|,dz =2integral0^inftye^-20z,dz =2l[-tfrac120e^-20zr]0^infty =220=0,1

Passo 5

Substituindo s=0,08 m e o valor da integral em z:
Q=5cdot0,08cdot2picdot0,1;nC =0,08pi;nCapprox0,25;nC

Resposta

0,25 nC

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