Uma superfície S é obtida pelo corte de uma superfície esférica de raio R e com centro na origem, pelo plano z=a. Esse superfície é dielétrica e está carregada com densidade superficial sigma=beta cos theta, onde beta uma constante positiva e theta é o ângulo medido a partir do eixo z. Determine a carga contida em S.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R centrada na origem, e o plano z=a corta essa esfera, gerando a calota esférica S com z>= a. Sobre S há uma carga superficial
sigma(theta)=betacostheta,
onde theta é o ângulo a partir do eixo z. Nosso objetivo é calcular a carga total
Q=integral duplaSsigma,dS
Para isso vamos usar coordenadas esféricas e a expressão do elemento de área na superfície de raio R.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio R tem coordenadas (R,theta,phi) e o elemento de área vale
dS=R^2sintheta,dtheta,dphi
Logo o integrando fica sigma,dS=betacostheta,(R^2sintheta,dtheta,dphi).

Passo 3

Precisamos determinar os limites de theta e phi. Como a calota S satisfaz z=Rcostheta>= a, temos
costheta>=aR Longrightarrow 0<=theta<=theta0,
com
theta0=arccos!l(tfracaRr)
E phi varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Escrevendo a integral dupla para Q temos
Q=integralphi=0^2piintegraltheta=0^theta0betacostheta;R^2sintheta;dtheta,dphi

Passo 5

Primeiro integramos em phi, que só traz um fator 2pi:
Q=2pibeta R^2integral0^theta0costheta,sintheta,dtheta
Fazendo a substituição u=sin^2theta, ou diretamente sabendo que
tfracddtheta(sin^2theta)=2sinthetacostheta, temos
integral0^theta0costheta,sintheta,dtheta =12sin^2theta|0^theta0 =12sin^2theta0
Logo
Q=2pibeta R^2cdot12sin^2theta0 =pibeta R^2sin^2theta0

Passo 6

Basta agora usar
sin^2theta0 =1-cos^2theta0 =1-l(tfracaRr)^2 =R^2-a^2R^2
Substituindo em Q
Q=pibeta R^2,R^2-a^2R^2 =pibeta,(R^2-a^2)

Resposta

Q=pibetal(R^2-a^2r)

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