Uma superfície é obtida pelo corte de uma superfície esférica de raio e com centro na origem, pelo plano . Esse superfície é dielétrica e está carregada com densidade superficial , onde uma constante positiva e é o ângulo medido a partir do eixo . Determine a carga contida em .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera de raio centrada na origem, e o plano corta essa esfera, gerando a calota esférica com . Sobre há uma carga superficial ,
onde é o ângulo a partir do eixo . Nosso objetivo é calcular a carga total
Para isso vamos usar coordenadas esféricas e a expressão do elemento de área na superfície de raio .
Passo 2
Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio tem coordenadas e o elemento de área vale
Logo o integrando fica .
Passo 3
Precisamos determinar os limites de e . Como a calota satisfaz , temos
com
E varia de a .
Passo 4
Escrevendo a integral dupla para temos
Passo 5
Primeiro integramos em , que só traz um fator :
Fazendo a substituição , ou diretamente sabendo que , temos