Dentre as abelhas operárias adultas do gênero Apis., o comprimento do pronoto é distribuído com média u=1,27 cm e desvio padrão o=0,27. *
Qual é a probabilidade dos valores do pronoto serem menores que 1,33 cm ?

Passo 1

Beleza! A questão diz que o comprimento do pronoto das abelhas é uma variável aleatória normalmente distribuída com média μ = 1,27 cm e desvio-padrão σ = 0,27 cm. A pergunta é: qual a probabilidade de uma abelha ter pronoto menor que 1,33 cm?
Conteúdo: distribuição Normal e padronização (transformar X em Z).
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de distribuição normal.
  • Saber padronizar X para Z = (X–μ)/σ.
  • Usar a tabela (ou calculadora) da Normal padrão para achar Φ(z).

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a variável X = comprimento do pronoto. A ideia de padronizar é converter nossa Normal N(μ,σ²) numa Normal padrão N(0,1) pra poder usar a tabela. A fórmula é:
Z = X - musigma
Aqui, X = 1,33, μ = 1,27, σ = 0,27.

Passo 3

Calculando o valor de Z:
Z = 1,33 - 1,270,27 = 0,060,27 approx 0,2222
Esse Z significa que 1,33 cm está 0,2222 desvio-padrão acima da média.

Passo 4

Agora queremos P(X < 1,33), que é igual a P\bigl(Z < 0,2222\bigr). Isso é dado pela função de distribuição acumulada da Normal padrão, Φ(z).

Passo 5

Consultando a tabela da Normal padrão (ou usando uma calculadora estatística), encontramos:
$$\Phi(0,22) \approx 0,5871\
\Phi(0,23) \approx 0,5910$$
Interpalando para z = 0,2222, dá aproximadamente 0,5887.

Resposta

A probabilidade de o pronoto ser menor que 1,33 cm é cerca de 0,589 (ou 58,9%).

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