Dentre as aplicações abaixo, verifique quais são transformações lineares:
T: R^2 M(2,2), T(x, y)=(cc2 y & 3 x -y & x+2 y)

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^2 to M(2,2), T(x,y)=2y & 3x -y & x+2y
e pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos checar as duas propriedades de transformação linear:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(lambda u)=lambda,T(u).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Tomemos u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v) = 2(y1+y2) & 3(x1+x2) -(y1+y2)&(x1+x2)+2(y1+y2)
Por outro lado,
T(u)+T(v) =2y1&3x1-y1&x1+2y1 +2y2&3x2-y2&x2+2y2 = 2(y1+y2)&3(x1+x2) -(y1+y2)&(x1+2y1)+(x2+2y2)
Como (x1+2y1)+(x2+2y2)=(x1+x2)+2(y1+y2), segue
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Agora a homogeneidade. Sejam lambdainR e u=(x,y). Então
T(lambda u)=T(lambda x,lambda y) =2(lambda y)&3(lambda x)-(lambda y)&(lambda x)+2(lambda y) =lambda2y&3x-y&x+2y =lambda,T(x,y)

Resposta

A aplicação T satisfaz as duas propriedades de linearidade, logo é transformação linear.

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