Determine a equação, na forma paramétrica e vetorial, da(s) curva(s) intersecção(ões) das superficies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação, tanto na forma paramétrica quanto vetorial, das curvas de interseção das superfícies e . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica, focando na interseção de duas superfícies quádricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar o trabalho. Olhando para :
Podemos dividir todos os termos por 9:
Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha.
Passo 3
Agora, vamos olhar para :
Essa é a equação de uma esfera com raio 5, centrada na origem.
Passo 4
Para encontrar a curva de interseção, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações:
Podemos resolver esse sistema somando ou subtraindo as equações para eliminar uma das variáveis.
Passo 5
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Então, encontramos que ou .
Passo 6
Agora, vamos substituir na segunda equação para encontrar e :
O mesmo vale para , já que o quadrado de é o mesmo.
Passo 7
Agora, temos que quando ou , a equação representa um círculo no plano . Para expressar isso em forma paramétrica e vetorial, podemos usar coordenadas polares.
Passo 8
Vamos parametrizar o círculo usando um ângulo :
Aqui, varia de a para percorrer todo o círculo.
Passo 9
Agora, podemos escrever as equações paramétricas para as duas curvas de interseção:
Para [z = 2\sqrt{3}):
Para (z = -2\sqrt{3}]:
Passo 10
Para a forma vetorial, podemos expressar cada curva como um vetor posição em função de theta :
Para z = 2raiz3 :
r(theta) = raiz13 costheta, i + raiz13 sintheta, j + 2raiz3, k
Para z = -2raiz3 :
r(theta) = raiz13 costheta, i + raiz13 sintheta, j - 2raiz3, k