Determine a equação, na forma paramétrica e vetorial, da(s) curva(s) intersecção(ões) das superficies S1: 9 x^2+9 y^2-9 z^2=9 e S2: x^2+y^2+z^2=25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação, tanto na forma paramétrica quanto vetorial, das curvas de interseção das superfícies S1: 9x^2 + 9y^2 - 9z^2 = 9 e S2: x^2 + y^2 + z^2 = 25 . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica, focando na interseção de duas superfícies quádricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar o trabalho. Olhando para S1 :
9x^2 + 9y^2 - 9z^2 = 9
Podemos dividir todos os termos por 9:
x^2 + y^2 - z^2 = 1
Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos olhar para S2 :
x^2 + y^2 + z^2 = 25
Essa é a equação de uma esfera com raio 5, centrada na origem.

Passo 4

Para encontrar a curva de interseção, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações:
x^2 + y^2 - z^2 = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 25
Podemos resolver esse sistema somando ou subtraindo as equações para eliminar uma das variáveis.

Passo 5

Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 - z^2) = 25 - 1
Simplificando:
2z^2 = 24 implies z^2 = 12 implies z = pm 2raiz3
Então, encontramos que z = 2raiz3 ou z = -2raiz3 .

Passo 6

Agora, vamos substituir z = 2raiz3 na segunda equação para encontrar x e y :
x^2 + y^2 + (2raiz3)^2 = 25 implies x^2 + y^2 + 12 = 25 implies x^2 + y^2 = 13
O mesmo vale para z = -2raiz3 , já que o quadrado de z é o mesmo.

Passo 7

Agora, temos que quando z = 2raiz3 ou z = -2raiz3 , a equação x^2 + y^2 = 13 representa um círculo no plano z = pm 2raiz3 . Para expressar isso em forma paramétrica e vetorial, podemos usar coordenadas polares.

Passo 8

Vamos parametrizar o círculo x^2 + y^2 = 13 usando um ângulo theta :
x = raiz13 costheta y = raiz13 sintheta z = 2raiz3 ou z = -2raiz3
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para percorrer todo o círculo.

Passo 9

Agora, podemos escrever as equações paramétricas para as duas curvas de interseção:
  1. Para [z = 2\sqrt{3}):
  1. Para (z = -2\sqrt{3}]:

Passo 10

Para a forma vetorial, podemos expressar cada curva como um vetor posição em função de theta :
  1. Para z = 2raiz3 :
r(theta) = raiz13 costheta, i + raiz13 sintheta, j + 2raiz3, k
  1. Para z = -2raiz3 :
r(theta) = raiz13 costheta, i + raiz13 sintheta, j - 2raiz3, k

Resposta

As equações das curvas de interseção são:
Forma Paramétrica:
  1. Para [z = 2\sqrt{3}):
  1. Para (z = -2\sqrt{3}]:
Forma Vetorial:
  1. Para :
  1. Para :

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