No espaço V=P2 consideremos o produto
lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
Mostre que este produto é produto interno e calcule lang<= f(t), g(t)rang<= e |f(t)| para f(t)= t^2-2 t e g(t)=t+3.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=P2 (polinômios de grau <=2) e o produto
lang<= f(t),g(t)rang<==integral0^1f(t),g(t),dt
Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de um produto interno (linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade definida) e em seguida calcular lang<= f,grang<= e |f| para
f(t)=t^2-2t, g(t)=t+3

Passo 2

A linearidade e a simetria seguem imediatamente das propriedades da integral e da comutatividade do produto de funções: para quaisquer escalares a,b e polinômios f1,f2,g
lang<= a,f1+b,f2,,grang<= =integral0^1(a,f1(t)+b,f2(t)),g(t),dt =aintegral0^1f1(t)g(t),dt +bintegral0^1f2(t)g(t),dt =a,lang<= f1,grang<=+b,lang<= f2,grang<=
e
lang<= f,grang<= =integral0^1f(t)g(t),dt =integral0^1g(t)f(t),dt =lang<= g,frang<=
A positividade definida vem de
lang<= f,frang<= =integral0^1f(t)^2,dt>=0,
com igualdade só se f(t)=0 em [0,1], mas como f é polinomial isso implica fequiv0. Logo é produto interno.

Passo 3

Para calcular lang<= f,grang<= note que
f(t)g(t) =(t^2-2t)(t+3) =t^3+3t^2-2t^2-6t =t^3+t^2-6t
Logo
lang<= f,grang<= =integral0^1l(t^3+t^2-6tr),dt =[t^44+t^33-3t^2]0^1 =14+13-3 =-2912

Passo 4

Para |f| precisamos de lang<= f,frang<=. Expande-se
(f(t))^2 =(t^2-2t)^2 =t^4-4t^3+4t^2,
então
lang<= f,frang<= =integral0^1(t^4-4t^3+4t^2),dt =[t^55-t^4+4t^33]0^1 =15-1+43 =815
Portanto
|f|=raizlang<= f,frang<= =raiz815

Resposta

lang<= f,grang<==-2912, |f|=raiz815

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