No espaço
consideremos o produto
Mostre que este produto é produto interno e calcule
e
para
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço
(polinômios de grau
) e o produto
Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de um produto interno (linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade definida) e em seguida calcular
e
para
Passo 2
A linearidade e a simetria seguem imediatamente das propriedades da integral e da comutatividade do produto de funções: para quaisquer escalares
e polinômios
e
A positividade definida vem de
com igualdade só se
em
, mas como
é polinomial isso implica
. Logo é produto interno.
Passo 3
Para calcular
note que
Logo
Passo 4
Para
precisamos de
. Expande-se
então
Portanto