Dentre as aplicações abaixo, verifique quais são transformações lineares:
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(ccc2 & 1 & 3 -1 & 0 & -2)(lx y z)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
e pede para verificar se é transformação linear. Em Álgebra Linear, dizemos que é linear se, para quaisquer vetores e escalar , valem
. (aditividade)
. (homogeneidade)

Passo 2

Vamos checar a aditividade. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2), então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) = 2 & 1 & 3 -1 & 0 & -2 x1+x2 y1+y2 z1+z2 = 2x1+1y1+3z1[4pt] -1x1+0y1-2z1 + 2x2+1y2+3z2[4pt] -1x2+0y2-2z2 = T(u)+T(v) ]

Passo 3

Agora checamos a homogeneidade. Para alphainR e u=(x,y,z),
T(alpha u) = T(alpha x,alpha y,alpha z) = 2 & 1 & 3 -1 & 0 & -2 alpha x alpha y alpha z = alpha 2x+1y+3z[4pt] -1x+0y-2z = alpha,T(x,y,z) ]

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T é transformação linear.

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