O enunciado pede: dentre as opções dadas, qual conjunto forma uma base do espaço \,M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais).
Informações relevantes fornecidas:
O espaço considerado é \,M_{2}(\mathbb{R}).
As opções são quatro conjuntos de matrizes (rotuladas a, b, c e d no enunciado).
O conjunto da opção d tem apenas três matrizes; as outras têm quatro matrizes cada uma.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que é base e a estratégia:
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span) do espaço.
Fato importante e muito útil: \,M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Isso porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas livres; um exemplo de base canônica é \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, com
Consequência prática: se um conjunto tem exatamente 4 matrizes (número igual à dimensão) e for linearmente independente, então automaticamente é uma base (porque um conjunto independente de tamanho igual à dimensão gera o espaço). Portanto aqui basta verificar independência para os conjuntos de tamanho 4; conjuntos com menos de 4 elementos não podem ser base.]
Logo há dependência linear (uma matriz é combinação linear das outras). Portanto o conjunto (a) não é linearmente independente e, portanto, não é base.]
Esse conjunto tem apenas 3 matrizes. Como \dim(M_{2}(\mathbb{R}))=4, qualquer base precisa ter exatamente 4 vetores; portanto um conjunto com 3 elementos não pode ser base. Logo (d) está descartada.]
Vamos testar independência linear. Uma maneira prática é identificar cada matriz com o vetor em \mathbb{R}^4\) na ordem \((a,b,c,d)\) correspondente às entradas da matriz \(\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}\). Fazendo isso:
\[\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\mapsto (2,1,0,0), \quad \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\mapsto (0,1,1,0),
Da segunda equação \,c_{2}=-c_{1}\].
- Substituindo na terceira, \(-c_{1}+c_{3}=0, logo \,c_{3}=c_{1}.
- Da quarta, c_{3}+c_{4}=0 implica c_{4}=-c_{3}=-c_{1}.
- Substituindo esses emita primeira equação: 2c_{1}+c_{4}=2c_{1}-c_{1}=c_{1}=0.
Logo c_{1}=0, e então c_{2}=c_{3}=c_{4}=0. A única combinação que dá a matriz nula é a combinação trivial, portanto os quatro vetores são linearmente independentes.]
Passo 7
Conclusão: a opção (c) fornece quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4; portanto forma uma base de \,M_{2}(\mathbb{R}). As opções (a) e (b) são dependentes e (d) tem número insuficiente de elementos.