Dentre os conjuntos a seguir, qual é base para o M_{2}(\mathbb{R}) ?
Escolha uma opção:
◯ a.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
◯ b.
\boldsymbol{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
B=\left\{\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}
◯ d.
\boldsymbol{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre as opções dadas, qual conjunto forma uma base do espaço \,M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais).
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço considerado é \,M_{2}(\mathbb{R}).
  • As opções são quatro conjuntos de matrizes (rotuladas a, b, c e d no enunciado).
  • O conjunto da opção d tem apenas três matrizes; as outras têm quatro matrizes cada uma.

Passo 2

Lembrete didático sobre o que é base e a estratégia:
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span) do espaço.
  • Fato importante e muito útil: \,M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Isso porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas livres; um exemplo de base canônica é \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, com
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Consequência prática: se um conjunto tem exatamente 4 matrizes (número igual à dimensão) e for linearmente independente, então automaticamente é uma base (porque um conjunto independente de tamanho igual à dimensão gera o espaço). Portanto aqui basta verificar independência para os conjuntos de tamanho 4; conjuntos com menos de 4 elementos não podem ser base.]

Passo 3

Analisando a opção (a). O conjunto é
B=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}\right\}.
Observação direta: a terceira matriz é a soma das duas primeiras:
\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Logo há dependência linear (uma matriz é combinação linear das outras). Portanto o conjunto (a) não é linearmente independente e, portanto, não é base.]

Passo 4

Analisando a opção (b). O conjunto é
\left\{\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}2&4\\[4pt]0&2\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
Note que a segunda matriz é exatamente 2 vezes a primeira:
\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]0&2\end{pmatrix} =2\cdot\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Isso já garante dependência linear (um vetor é múltiplo de outro). Logo a opção (b) não é base.]

Passo 5

Analisando a opção (d). O conjunto é
\left\{\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\right\}.
Esse conjunto tem apenas 3 matrizes. Como \dim(M_{2}(\mathbb{R}))=4, qualquer base precisa ter exatamente 4 vetores; portanto um conjunto com 3 elementos não pode ser base. Logo (d) está descartada.]

Passo 6

Analisando a opção (c). O conjunto é
\left\{\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
Vamos testar independência linear. Uma maneira prática é identificar cada matriz com o vetor em \mathbb{R}^4\) na ordem \((a,b,c,d)\) correspondente às entradas da matriz \(\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}\). Fazendo isso: \[\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\mapsto (2,1,0,0), \quad \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\mapsto (0,1,1,0),
\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}\mapsto (0,0,1,1), \quad \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\mapsto (1,0,0,1).
Considere uma combinação linear que dê a matriz nula:
c_{1}\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} + c_{4}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo isso componente a componente (usando a ordenação (a,b,c,d)) obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2c_{1}+c_{4}=0,\\[4pt] c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] c_{2}+c_{3}=0,\\[4pt] c_{3}+c_{4}=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo:
  • Da segunda equação \,c_{2}=-c_{1}\]. - Substituindo na terceira, \(-c_{1}+c_{3}=0, logo \,c_{3}=c_{1}.
    - Da quarta, c_{3}+c_{4}=0 implica c_{4}=-c_{3}=-c_{1}.
    - Substituindo esses emita primeira equação: 2c_{1}+c_{4}=2c_{1}-c_{1}=c_{1}=0.
Logo c_{1}=0, e então c_{2}=c_{3}=c_{4}=0. A única combinação que dá a matriz nula é a combinação trivial, portanto os quatro vetores são linearmente independentes.]

Passo 7

Conclusão: a opção (c) fornece quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4; portanto forma uma base de \,M_{2}(\mathbb{R}). As opções (a) e (b) são dependentes e (d) tem número insuficiente de elementos.

Resposta

c.

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