Q14: Seja
uma matriz
com entradas em
. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - A multiplicidade algébrica de um autovalor de
é sempre menor ou igual à multiplicidade geométrica desse autovalor.
II - Se a multiplicidade geométrica de cada autovalor de
é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor, então
é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - A multiplicidade algébrica de um autovalor de
II - Se a multiplicidade geométrica de cada autovalor de
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Foi dada uma matriz
de ordem com entradas em . - São apresentadas duas afirmativas sobre multiplicidades de autovalores:
-
- “A multiplicidade algébrica de um autovalor de é sempre menor ou igual à multiplicidade geométrica desse autovalor.” -
- “Se a multiplicidade geométrica de cada autovalor de é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor, então é diagonalizável.”
-
- O enunciado dá opções de resposta (A), (B), (D), (E) — mas o importante é decidir quais das afirmativas
e são verdadeiras ou falsas.
O que a questão pede: identificar quais das afirmativas são verdadeiras e quais são falsas (ou, equivalentemente, escolher a alternativa correta que representa essa combinação).
Informações relevantes que vamos usar:
- Definições de multiplicidade algébrica e geométrica de um autovalor.
- Relação conhecida entre essas multiplicidades (há uma desigualdade entre elas).
- Critério de diagonalizabilidade em termos do total de autovetores independentes ou em termos das multiplicidades geométrica = algébrica.
Passo 2
Definições importantes (explicadas passo a passo, com exemplos simples).
- Autovalor e autovetor: dizemos que
é autovalor de se existe tal que
Esse
chama-se autovetor associado a
.
- Multiplicidade algébrica: a multiplicidade algébrica de um autovalor
é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico
Por exemplo, se
então o autovalor
tem multiplicidade algébrica
.
- Multiplicidade geométrica: a multiplicidade geométrica de
é a dimensão do espaço próprio (ou seja, do núcleo de ):
No exemplo anterior, a multiplicidade geométrica de
é o número de vetores linearmente independentes que satisfazem
.
Exemplo simples para fixar ideias: para a matriz identidade
tem-se polinômio característico
, logo
tem multiplicidade algébrica
. Também
tem dimensão
, então a multiplicidade geométrica também é
.
Passo 3
A relação geral entre as multiplicidades (teorema e intuição).
- Teorema padrão: para cada autovalor
vale sempre
Em outras palavras,
Explicação intuitiva e demonstração curta:
- A multiplicidade algébrica conta “quantas vezes”
aparece no polinômio característico; essa contagem reflete a estrutura de Jordan de . - A multiplicidade geométrica conta quantas colunas de autovetores independentes existem para esse
, ou seja, o número de blocos de Jordan distintos associados a . - Cada bloco de Jordan contribui com pelo menos um autovetor, e um bloco de Jordan de tamanho
contribui com algébrica mas geométrica apenas . Somando sobre os blocos associados a obtemos que a soma das dimensões dos espaços próprios (a geométrica) é menor ou igual à soma dos tamanhos dos blocos (a algébrica). Esse é o motivo da desigualdade.
Conclusão a partir disso: a afirmativa
diz o oposto (que a multiplicidade algébrica é sempre menor ou igual à geométrica). Portanto, segundo o teorema acima, a afirmativa
é falsa, já que a desigualdade correta é
, não o contrário.
Passo 4
Um contraexemplo explícito mostrando que
é falsa (para ficar bem claro na hora da prova).
Considere a matriz de Jordan
- O polinômio característico é
. Logo o autovalor tem multiplicidade algébrica . - Agora calcule o núcleo de
:
então as soluções de
são vetores da forma
. Assim
tem dimensão
, ou seja
.
Aqui
e
. Isso mostra explicitamente que pode ocorrer
, e portanto a afirmativa
(que afirmava
) é falsa.]
Passo 5
Prova detalhada e didática de que
é verdadeira (ou seja, se para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica então
é diagonalizável).
Objetivo: mostrar que existe uma base de
formada por autovetores de
. Se isso acontecer, então
é similar a uma matriz diagonal (essa é exatamente a definição de diagonalizável).
Passos do argumento:
- Seja o polinômio característico de
com raízes (autovalores) distintas. Para cada , seja a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica. - Hipótese do enunciado
: para todo vale . - Sabemos sempre que
para cada autovalor e que
(pois as multiplicidades algébricas somam o grau do polinômio característico, que é
).
- Pela hipótese,
- Para cada
podemos escolher uma base de com vetores autovetores independentes. Tome a união das bases escolhidas para cada valor . Vou denotar esses vetores por . - Esses vetores são autovetores associados a autovalores distintos, ou, quando associados ao mesmo autovalor, foram escolhidos dentro de um espaço próprio e são independentes entre si. Uma propriedade fundamental: vetores de espaços próprios associados a autovalores distintos são linearmente independentes entre si. Assim, a união dessas bases forma um conjunto de
vetores linearmente independentes. - Ter
vetores linearly independentes em significa que eles formam uma base de . E por construção essa base é formada por autovetores de . - Conclusão: existe uma base de
formada por autovetores, logo é diagonalizável.
Observação prática para prova: muitas provas pedem exatamente esse raciocínio de contar dimensões e juntar bases dos espaços próprios. É um argumento padrão e rápido de montar sob pressão.
Passo 6
Resumo e interpretação final (mentalidade de prova)
- Afirmativa
é falsa — porque a desigualdade correta é , e apresentamos um contraexemplo concreto (matriz de Jordan) que mostra . - Afirmativa
é verdadeira — se para todo autovalor as duas multiplicidades coincidem, então somando as dimensões dos espaços próprios obtém-se vetores independentes, formando assim uma base de autovetores; portanto é diagonalizável.
Motivação final: na prova, se virem uma questão sobre multiplicidades e diagonalização, lembrar: “geométrica ≤ algébrica” sempre; igualdade para todos os autovalores é condição equivalente a poder gerar
autovetores independentes e, portanto, a diagonalização.
Resposta
Apenas II é verdadeira.