Q14: Seja A uma matriz n \times n com entradas em \mathbb{R}. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - A multiplicidade algébrica de um autovalor de A é sempre menor ou igual à multiplicidade geométrica desse autovalor.
II - Se a multiplicidade geométrica de cada autovalor de A é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor, então A é diagonalizável.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dada uma matriz A de ordem n\times n com entradas em \mathbb{R}.
  • São apresentadas duas afirmativas sobre multiplicidades de autovalores:
    • I - “A multiplicidade algébrica de um autovalor de A é sempre menor ou igual à multiplicidade geométrica desse autovalor.”
    • II - “Se a multiplicidade geométrica de cada autovalor de A é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor, então A é diagonalizável.”
  • O enunciado dá opções de resposta (A), (B), (D), (E) — mas o importante é decidir quais das afirmativas I e II são verdadeiras ou falsas.
O que a questão pede: identificar quais das afirmativas são verdadeiras e quais são falsas (ou, equivalentemente, escolher a alternativa correta que representa essa combinação).
Informações relevantes que vamos usar:
  • Definições de multiplicidade algébrica e geométrica de um autovalor.
  • Relação conhecida entre essas multiplicidades (há uma desigualdade entre elas).
  • Critério de diagonalizabilidade em termos do total de autovetores independentes ou em termos das multiplicidades geométrica = algébrica.

Passo 2

Definições importantes (explicadas passo a passo, com exemplos simples).
  • Autovalor e autovetor: dizemos que \lambda\in\mathbb{C} é autovalor de A se existe v\neq 0 tal que
A v = \lambda v.
Esse v chama-se autovetor associado a \lambda.
  • Multiplicidade algébrica: a multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico
p_A(t)=\det(tI-A).
Por exemplo, se p_A(t)=(t-2)^3(t+1) então o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 3.
  • Multiplicidade geométrica: a multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio (ou seja, do núcleo de A-\lambda I):
\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I).
No exemplo anterior, a multiplicidade geométrica de 2 é o número de vetores linearmente independentes que satisfazem (A-2I)v=0.
Exemplo simples para fixar ideias: para a matriz identidade I_n tem-se polinômio característico (t-1)^n, logo \lambda=1 tem multiplicidade algébrica n. Também \ker(I_n-1\cdot I)=\ker(0)=\mathbb{R}^n tem dimensão n, então a multiplicidade geométrica também é n.

Passo 3

A relação geral entre as multiplicidades (teorema e intuição).
  • Teorema padrão: para cada autovalor \lambda vale sempre
\dim\ker(A-\lambda I)\le \text{multiplicidade algébrica de }\lambda.é
Em outras palavras,
\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)\le \text{mult}_{\text{alg}}(\lambda).
Explicação intuitiva e demonstração curta:
  • A multiplicidade algébrica conta “quantas vezes” \lambda aparece no polinômio característico; essa contagem reflete a estrutura de Jordan de A.
  • A multiplicidade geométrica conta quantas colunas de autovetores independentes existem para esse \lambda, ou seja, o número de blocos de Jordan distintos associados a \lambda.
  • Cada bloco de Jordan contribui com pelo menos um autovetor, e um bloco de Jordan de tamanho k contribui com algébrica k mas geométrica apenas 1. Somando sobre os blocos associados a \lambda obtemos que a soma das dimensões dos espaços próprios (a geométrica) é menor ou igual à soma dos tamanhos dos blocos (a algébrica). Esse é o motivo da desigualdade.
Conclusão a partir disso: a afirmativa I diz o oposto (que a multiplicidade algébrica é sempre menor ou igual à geométrica). Portanto, segundo o teorema acima, a afirmativa I é falsa, já que a desigualdade correta é \text{geom}\le\text{alg}, não o contrário.

Passo 4

Um contraexemplo explícito mostrando que I é falsa (para ficar bem claro na hora da prova).
Considere a matriz de Jordan 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • O polinômio característico é \det(tI-A)=(t-1)^2. Logo o autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica \text{mult}_{\text{alg}}(1)=2.
  • Agora calcule o núcleo de A-I:
A-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
então as soluções de (A-I)v=0 são vetores da forma v=(x,0)^\top. Assim \ker(A-I) tem dimensão 1, ou seja \text{mult}_{\text{geom}}(1)=1.
Aqui \text{mult}_{\text{alg}}(1)=2 e \text{mult}_{\text{geom}}(1)=1. Isso mostra explicitamente que pode ocorrer \text{alg}>\text{geom}, e portanto a afirmativa I (que afirmava \text{alg}\le\text{geom}) é falsa.]

Passo 5

Prova detalhada e didática de que II é verdadeira (ou seja, se para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica então A é diagonalizável).
Objetivo: mostrar que existe uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores de A. Se isso acontecer, então A é similar a uma matriz diagonal (essa é exatamente a definição de diagonalizável).
Passos do argumento:
  • Seja o polinômio característico de A com raízes (autovalores) \lambda_1,\dots,\lambda_k distintas. Para cada i, seja m_i=\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda_i) a multiplicidade algébrica e g_i=\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda_i)=\dim\ker(A-\lambda_i I) a multiplicidade geométrica.
  • Hipótese do enunciado II: para todo i vale g_i=m_i.
  • Sabemos sempre que g_i\ge 1 para cada autovalor e que
\sum_{i=1}^k m_i = n
(pois as multiplicidades algébricas somam o grau do polinômio característico, que é n).
  • Pela hipótese,
\sum_{i=1}^k g_i = \sum_{i=1}^k m_i = n.
  • Para cada i podemos escolher uma base de \ker(A-\lambda_i I) com g_i vetores autovetores independentes. Tome a união das bases escolhidas para cada valor i. Vou denotar esses vetores por v_{i,1},\dots,v_{i,g_i}.
  • Esses vetores são autovetores associados a autovalores distintos, ou, quando associados ao mesmo autovalor, foram escolhidos dentro de um espaço próprio e são independentes entre si. Uma propriedade fundamental: vetores de espaços próprios associados a autovalores distintos são linearmente independentes entre si. Assim, a união dessas bases forma um conjunto de \sum_i g_i = n vetores linearmente independentes.
  • Ter n vetores linearly independentes em \mathbb{R}^n significa que eles formam uma base de \mathbb{R}^n. E por construção essa base é formada por autovetores de A.
  • Conclusão: existe uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores, logo A é diagonalizável.
Observação prática para prova: muitas provas pedem exatamente esse raciocínio de contar dimensões e juntar bases dos espaços próprios. É um argumento padrão e rápido de montar sob pressão.

Passo 6

Resumo e interpretação final (mentalidade de prova)
  • Afirmativa I é falsa — porque a desigualdade correta é \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)\le\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda), e apresentamos um contraexemplo concreto (matriz de Jordan) que mostra \text{alg}>\text{geom}.
  • Afirmativa II é verdadeira — se para todo autovalor as duas multiplicidades coincidem, então somando as dimensões dos espaços próprios obtém-se n vetores independentes, formando assim uma base de autovetores; portanto A é diagonalizável.
Motivação final: na prova, se virem uma questão sobre multiplicidades e diagonalização, lembrar: “geométrica ≤ algébrica” sempre; igualdade para todos os autovalores é condição equivalente a poder gerar n autovetores independentes e, portanto, a diagonalização.

Resposta

Apenas II é verdadeira.

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