Q13: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{ll} -2 & 3 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 2a coluna da matriz P é múltipla de:
(、) \left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a existência de uma matriz invertível P tal que
\left[\begin{array}{rr} -2 & 3 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right] = P \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad\text{com}\quad a<b.
A pergunta é: a 2ª coluna de P é múltipla de qual dos vetores listados nas alternativas:
\text{(A)}\\ \left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]-1\end{array}\right],\quad \text{(B)}\\ \left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]-2\end{array}\right],\quad \text{\text{(C)}}\\ \left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]-2\end{array}\right],\quad \text{(D)}\\ \left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]-1\end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A=\left[\begin{smallmatrix}-2 & 3 \\\\ -2 & 3\end{smallmatrix}\right].
  • Há uma diagonalização de A com autovalores a e b (e a<b).
  • Em uma diagonalização A=PDP^{-1}, as colunas de P são autovetores correspondentes aos autovalores na diagonal de D. (Não vamos ainda desenvolver esse fato — só estou listando o que temos.)]

Passo 2

Explicar por que as colunas de P são autovetores (aula rápida e essencial).
Se A=PDP^{-1}, multiplicando à direita por P obtemos
AP = PD.
Escrevendo P=[v_1\\ v_2] (colunas v_1,v_2) e D=\operatorname{diag}(a,b), a igualdade AP=PD se traduz em
A[v_1\\ v_2]=[a v_1\\ b v_2].
Isto significa, coluna a coluna:
A v_1 = a v_1,\qquad A v_2 = b v_2.
Portanto a j-ésima coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor que está na posição (j,j) de D. Em particular, a 2ª coluna de P é um autovetor associado a b.

Passo 3

Calcular os autovalores de A (passo técnico completo).
Formo o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) =\det\!\left(\begin{array}{cc}-2-\lambda & 3 \\[2pt] -2 & 3-\lambda\end{array}\right).
Calculo o determinante:
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)(3-\lambda)-3(-2).
Expandindo:
(-2-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^2-\lambda-6,
então
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-6+6=\lambda^2-\lambda.
Logo o polinômio característico é \lambda(\lambda-1)=0. Portanto os autovalores são
\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=1.]

Passo 4

Relacionar com a e b. Como o enunciado diz a<b, temos necessariamente
a=0,\qquad b=1.
Pelo Passo 2, a 2ª coluna de P é um autovetor de A correspondente ao autovalor b=1. Então precisamos encontrar os autovetores de A para \lambda=1.

Passo 5

Encontrar os autovetores para \lambda=1\) (resolução detalhada). Resolvemos \((A-I)v=0\). A matriz \(A-I\) é \[A-I=\left[\begin{array}{rr}-2 & 3 \\[2pt]-2 & 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\[2pt]0 & 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr}-3 & 3 \\[2pt]-2 & 2\end{array}\right].
Se v=\left[\begin{smallmatrix}x\\[2pt]y\end{smallmatrix}\right], o sistema (A-I)v=0 é
\begin{cases} -3x+3y=0,\\[4pt] -2x+2y=0. \end{cases}
Ambas as equações são equivalentes à mesma relação:
-3x+3y=0\quad\Longrightarrow\quad y=x.
Portanto os autovetores associados a \lambda=1\] são todos os múltiplos de \[\left[\begin{array}{r}1\\[2pt]1\end{array}\right].\] Qualquer múltiplo escalar de \(\left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right] serve como 2ª coluna de P.]

Passo 6

Comparar com as alternativas (verificando múltiplos).
Procuramos qual vetor entre as alternativas é múltiplo de \left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right].
  • (A) \left[\begin{smallmatrix}-1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right]=-1\cdot\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right] — é múltiplo.
  • (B) \left[\begin{smallmatrix}-1\\[2pt]-2\end{smallmatrix}\right] — proporção entre entradas é (-1)/(-2)=1/2\neq1, não é múltiplo.
  • (C) \left[\begin{smallmatrix}-3\\[2pt]-2\end{smallmatrix}\right] (-3)/(-2)=3/2\neq1, não é múltiplo.
  • (D) \left[\begin{smallmatrix}-3\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right] (-3)/(-1)=3\neq1, não é múltiplo.
Só a alternativa (A) é múltiplo de \left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right], portanto é a correta.]

Resposta

(A) \left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]-1\end{array}\right]]

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