\left[\begin{array}{ll} -2 & 3 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 2a coluna da matriz P é múltipla de:
(、) \left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a existência de uma matriz invertível P tal que
\left[\begin{array}{rr} -2 & 3 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right] = P \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad\text{com}\quad a<b.
A pergunta é: a 2ª coluna de P é múltipla de qual dos vetores listados nas alternativas:
A matriz A=\left[\begin{smallmatrix}-2 & 3 \\\\ -2 & 3\end{smallmatrix}\right].
Há uma diagonalização de A com autovalores a e b (e a<b).
Em uma diagonalização A=PDP^{-1}, as colunas de P são autovetores correspondentes aos autovalores na diagonal de D. (Não vamos ainda desenvolver esse fato — só estou listando o que temos.)]
Passo 2
Explicar por que as colunas de P são autovetores (aula rápida e essencial).
Se A=PDP^{-1}, multiplicando à direita por P obtemos
AP = PD.
Escrevendo P=[v_1\\ v_2] (colunas v_1,v_2) e D=\operatorname{diag}(a,b), a igualdade AP=PD se traduz em
A[v_1\\ v_2]=[a v_1\\ b v_2].
Isto significa, coluna a coluna:
A v_1 = a v_1,\qquad A v_2 = b v_2.
Portanto a j-ésima coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor que está na posição (j,j) de D. Em particular, a 2ª coluna de P é um autovetor associado a b.
Passo 3
Calcular os autovalores de A (passo técnico completo).
Formo o polinômio característico:
Ambas as equações são equivalentes à mesma relação:
-3x+3y=0\quad\Longrightarrow\quad y=x.
Portanto os autovetores associados a \lambda=1\] são todos os múltiplos de
\[\left[\begin{array}{r}1\\[2pt]1\end{array}\right].\]
Qualquer múltiplo escalar de \(\left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right] serve como 2ª coluna de P.]
Passo 6
Comparar com as alternativas (verificando múltiplos).
Procuramos qual vetor entre as alternativas é múltiplo de \left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right].
(A) \left[\begin{smallmatrix}-1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right]=-1\cdot\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right] — é múltiplo.
(B) \left[\begin{smallmatrix}-1\\[2pt]-2\end{smallmatrix}\right] — proporção entre entradas é (-1)/(-2)=1/2\neq1, não é múltiplo.
(C) \left[\begin{smallmatrix}-3\\[2pt]-2\end{smallmatrix}\right] — (-3)/(-2)=3/2\neq1, não é múltiplo.
(D) \left[\begin{smallmatrix}-3\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right] — (-3)/(-1)=3\neq1, não é múltiplo.
Só a alternativa (A) é múltiplo de \left[\begin{smallmatrix}1\\\ 1\end{smallmatrix}\right], portanto é a correta.]