Dentre os conjuntos a seguir, distinga quais são intervalos, representando-os com as notações adotadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o conjunto
e ver se ele é um intervalo. Para isso, vamos precisar mexer com inequações que envolvem raízes quadradas e, claro, saber representar intervalos na linha dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A raiz quadrada
só está definida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, temos que:
Resolvendo isso:
Então, nosso domínio de definição é
ou
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
. Para isso, vamos considerar que a expressão do lado direito,
, precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo. Então:
Mas lembrando do nosso domínio inicial (
ou
), a intersecção dessas condições é
.
Agora, vamos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Isolando o
:
Dividindo os dois lados por
(lembrando que ao dividir por negativo a desigualdade muda de sentido):
Ou seja,
.
Passo 4
Agora, juntando todas as condições que encontramos:
-
(do domínio e do fato que ) -
(da resolução da inequação)
A intersecção dessas condições é:
Resposta
O conjunto solução é o intervalo
.