Dentre os conjuntos a seguir, distinga quais são intervalos, representando-os com as notações adotadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o conjunto x in R mid raizx^2-4 <= x-1 e ver se ele é um intervalo. Para isso, vamos precisar mexer com inequações que envolvem raízes quadradas e, claro, saber representar intervalos na linha dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa raizx^2-4 <= x-1. A raiz quadrada raizx^2-4 só está definida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, temos que:
x^2 - 4 >= 0
Resolvendo isso:
x^2 >= 4 implies x <= -2 ou x >= 2
Então, nosso domínio de definição é x <= -2 ou x >= 2.

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação raizx^2-4 <= x - 1. Para isso, vamos considerar que a expressão do lado direito, x - 1, precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo. Então:
x - 1 >= 0 implies x >= 1
Mas lembrando do nosso domínio inicial ( x <= -2 ou x >= 2), a intersecção dessas condições é x >= 2.
Agora, vamos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado para eliminar a raiz:
(raizx^2-4)^2 <= (x - 1)^2
Simplificando:
x^2 - 4 <= x^2 - 2x + 1
Agora, subtraímos x^2 de ambos os lados:
-4 <= -2x + 1
Isolando o x:
-4 - 1 <= -2x implies -5 <= -2x
Dividindo os dois lados por -2 (lembrando que ao dividir por negativo a desigualdade muda de sentido):
-5-2 >= x implies 52 >= x
Ou seja, x <= 52.

Passo 4

Agora, juntando todas as condições que encontramos:
  1. x >= 2 (do domínio e do fato que x - 1 >= 0)
  2. x <= 52 (da resolução da inequação)
A intersecção dessas condições é:
2 <= x <= 52

Resposta

O conjunto solução é o intervalo [,2, dfrac52,].

Exercícios relacionados