Problema 2: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{5t} $. Isso faz parte do estudo das transformadas integrais, especificamente a transformada de Laplace, que serve para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência $ s $. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = e^{5t} $, então vamos substituir essa função na fórmula.
Passo 3
Substituindo $ f(t) $ na definição, temos:
Podemos simplificar os expoentes, já que $ e^{-st} \cdot e^{5t} = e^{(5 - s)t} $. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ e^{at} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{a} e^{at} $, desde que $ a \neq 0 $. No nosso caso, $ a = 5 - s $. Portanto:
Para que a integral convirja, o expoente $ 5 - s $ precisa ser negativo, ou seja, $ s > 5 $. Assim, quando $ t $ tende a infinito, $ e^{(5 - s)t} $ tende a 0, e quando $ t = 0 $, $ e^{0} = 1 $. Substituindo esses valores:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = e^{5t} $ é: