Dentre os conjuntos a seguir, distinga quais são intervalos, representando-os com as notações adotadas.
x in R||x-1|<|4-x|

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto xinRmid |x-1|<|4-x|, verificar se ele é um intervalo e, em caso afirmativo, escrevê-lo na notação de intervalo. Vamos usar teoria de valores absolutos e desigualdades.

Passo 2

A desigualdade |x-1|<|4-x| compara distâncias de x aos pontos 1 e 4. Geometricamente, x está mais próximo de 1 do que de 4 exatamente quando x fica à esquerda do ponto médio entre 1 e 4, que é tfrac1+42=2,5.

Passo 3

Para resolver algébrica-mente, elevamos ao quadrado ambos os lados (já que são não negativos) e mantemos o sentido da desigualdade:
(x-1)^2 < (4-x)^2
Expandindo e simplificando temos:
(x^2-2x+1)<(16-8x+x^2)
-2x+1<16-8x
6x<15
x

Passo 4

Como obtivemos x<2,5, a solução é todo número real menor que 2,5. Esse conjunto é um intervalo aberto, que em notação de intervalos se escreve

Resposta

(-∞,2.5)

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