Problema 1 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = t^2 $. Isso faz parte da matéria de transformadas integrais, especificamente a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve fazer uma integral da função multiplicada por $ e^{-st} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t^2 $, então vamos substituir na definição:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. Para isso, vamos usar a fórmula da integral de $ t^n e^{-st} $. A fórmula geral é:
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 4
No nosso caso, $ n = 2 $. Então, vamos aplicar a fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = t^2 $ é: