Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre
?
com as operações:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com operações não usuais:
A pergunta é: esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre
?
Listei acima as informações que temos; a partir daqui vou verificar, passo a passo, os axiomas que uma estrutura deve satisfazer para ser espaço vetorial.
Listei acima as informações que temos; a partir daqui vou verificar, passo a passo, os axiomas que uma estrutura deve satisfazer para ser espaço vetorial.
Passo 2
Rápida recapitulação didática (sem pular etapas): para ser espaço vetorial sobre
precisamos que
seja um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade) e que a multiplicação por escalares satisfaça os axiomas usuais:
- para todo
e , (distributividade em relação à adição de vetores); - para todo
e , (distributividade em relação à adição de escalares); - para todo
e , (associatividade da multiplicação por escalares); - e o escalar
deve agir como identidade: .
Também verifico fechamento das operações (resultados em). Vou checar cada item explicitamente, com contas passo a passo.
Passo 3
Fechamento das operações.
- Soma: dadas
, a soma definida é . Como somas e constantes em produzem números reais, o resultado pertence a . Logo fechamento na soma ok. - Multiplicação por escalar: para
e , tem coordenadas reais, logo também está em . Fechamento ok.
Passo 4
Associatividade da adição. Quero mostrar que para
vale
.
Calculemos:
Calculemos:
então
Por outro lado
e
As duas expressões coincidem, logo a adição é associativa.
Passo 5
Comutatividade da adição. Pela definição:
Como
e
, as duas são iguais. Logo a adição é comutativa.
Passo 6
Elemento neutro da adição (identidade aditiva). Procuro
tal que, para todo
,
Pela definição da soma,
Comparando coordenadas obtemos
e
, o que dá
. Portanto o elemento neutro é
Verificação rápida:
. Está certo.
Passo 7
Inverso aditivo. Para dado
quero
tal que
. Usando a soma:
Daqui
e
então
. Assim o inverso aditivo de
é
Cheque rápido:
. Ok.
Conclusão parcial:
é um grupo abeliano.
Passo 8
Verificação da propriedade
. Para
:
Logo o escalar
atua como identidade, conforme pedido.
Passo 9
Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores:
preciso mostrar para
e
.
Primeiro
preciso mostrar
Primeiro
então
Desenvolvendo a segunda coordenada:
Agora calcule
. Temos
Somando (usando a definição de soma):
Simplificando a segunda coordenada:
As coordenadas batem com as de
. Portanto a distributividade em relação à adição de vetores vale.
Passo 10
Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares:
verifico para
.
Calcule LHS:
verifico
Calcule LHS:
RHS:
Somando:
Que coincide com LHS. Logo a propriedade vale.
Passo 11
Compatibilidade da multiplicação por escalares: verificar
.
Começando por . Aplicando
:
Começando por
Desenvolvendo a segunda coordenada:
Por outro lado,
As duas expressões coincidem. Logo a compatibilidade vale.
Passo 12
Propriedade do escalar zero:
deve ser o elemento neutro aditivo
. Calculando:
Portanto
é mesmo o neutro, como exigido.
Passo 13
Resumo das verificações: já mostramos fechamento; que
é um grupo abeliano (associatividade, comutatividade, neutro
, e inversos
); que a multiplicação por escalares satisfaz todas as propriedades necessárias (distributividades, compatibilidade,
, e
é o neutro). Assim todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão satisfeitos.
Resposta
Sim;
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
.