Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre mathbb{R} ?
\boldsymbol{V}=\mathbb{R}^{2}
com as operações:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}+1\right)
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y+\alpha-1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \boldsymbol{V}=\mathbb{R}^{2} com operações não usuais:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\;y_{1}+y_{2}+1\right)
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\;\alpha y+\alpha-1)
A pergunta é: esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
Listei acima as informações que temos; a partir daqui vou verificar, passo a passo, os axiomas que uma estrutura deve satisfazer para ser espaço vetorial.

Passo 2

Rápida recapitulação didática (sem pular etapas): para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R} precisamos que (\boldsymbol{V},+) seja um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade) e que a multiplicação por escalares satisfaça os axiomas usuais:
  • para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v,w\in\boldsymbol{V}, \alpha\cdot(v+w)=\alpha\cdot v+\alpha\cdot w(distributividade em relação à adição de vetores);
  • para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v\in\boldsymbol{V}, (\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta\cdot v(distributividade em relação à adição de escalares);
  • para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v\in\boldsymbol{V}, (\alpha\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v)(associatividade da multiplicação por escalares);
  • e o escalar 1 deve agir como identidade: 1\cdot v=v.
    Também verifico fechamento das operações (resultados em \mathbb{R}^2). Vou checar cada item explicitamente, com contas passo a passo.

Passo 3

Fechamento das operações.
  • Soma: dadas (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2, a soma definida é (x_1+x_2,\;y_1+y_2+1). Como somas e constantes em \mathbb{R} produzem números reais, o resultado pertence a \mathbb{R}^2. Logo fechamento na soma ok.
  • Multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2, \alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\;\alpha y+\alpha-1) tem coordenadas reais, logo também está em \mathbb{R}^2. Fechamento ok.

Passo 4

Associatividade da adição. Quero mostrar que para a=(x_1,y_1), b=(x_2,y_2), c=(x_3,y_3) vale (a+b)+c=a+(b+c).
Calculemos:
a+b=(x_1+x_2,\;y_1+y_2+1),
então
(a+b)+c=((x_1+x_2)+x_3,\;(y_1+y_2+1)+y_3+1)=(x_1+x_2+x_3,\;y_1+y_2+y_3+2).
Por outro lado
b+c=(x_2+x_3,\;y_2+y_3+1)
e
a+(b+c)=(x_1+(x_2+x_3),\;y_1+(y_2+y_3+1)+1)=(x_1+x_2+x_3,\;y_1+y_2+y_3+2).
As duas expressões coincidem, logo a adição é associativa.

Passo 5

Comutatividade da adição. Pela definição:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2+1),
(x_2,y_2)+(x_1,y_1)=(x_2+x_1,\;y_2+y_1+1).
Como x_1+x_2=x_2+x_1 e y_1+y_2=y_2+y_1, as duas são iguais. Logo a adição é comutativa.

Passo 6

Elemento neutro da adição (identidade aditiva). Procuro e=(e_1,e_2) tal que, para todo (x,y),
(x,y)+e=(x,y).
Pela definição da soma,
(x+e_1,\;y+e_2+1)=(x,y).
Comparando coordenadas obtemos e_1=0 e y+e_2+1=y, o que dá e_2=-1. Portanto o elemento neutro é
e=(0,-1).
Verificação rápida: (x,y)+(0,-1)=(x+0,\;y-1+1)=(x,y). Está certo.

Passo 7

Inverso aditivo. Para dado v=(x,y) quero w=(u,v_2) tal que v+w=e=(0,-1). Usando a soma:
(x+u,\;y+v_2+1)=(0,-1).
Daqui u=-x e y+v_2+1=-1 então v_2=-y-2. Assim o inverso aditivo de (x,y) é
-(x,y)=(-x,\;-y-2).
Cheque rápido: (x,y)+(-x,-y-2)=(0,\;y-y-2+1)=(0,-1)=e. Ok.
Conclusão parcial: (\mathbb{R}^2,+) é um grupo abeliano.

Passo 8

Verificação da propriedade 1\cdot v=v. Para v=(x,y):
1\cdot(x,y)=(1\cdot x,\;1\cdot y+1-1)=(x,y).
Logo o escalar 1 atua como identidade, conforme pedido.

Passo 9

Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores:
preciso mostrar \alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v para u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
Primeiro
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2+1),
então
\alpha\cdot(u+v)=\big(\alpha(x_1+x_2),\;\alpha(y_1+y_2+1)+\alpha-1\big).
Desenvolvendo a segunda coordenada:
\alpha(y_1+y_2+1)+\alpha-1=\alpha y_1+\alpha y_2+\alpha+\alpha-1=\alpha y_1+\alpha y_2+2\alpha-1.
Agora calcule \alpha\cdot u+\alpha\cdot v. Temos
\alpha\cdot u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1+\alpha-1),\qquad \alpha\cdot v=(\alpha x_2,\;\alpha y_2+\alpha-1).
Somando (usando a definição de soma):
\alpha\cdot u+\alpha\cdot v=(\alpha x_1+\alpha x_2,\;(\alpha y_1+\alpha-1)+(\alpha y_2+\alpha-1)+1).
Simplificando a segunda coordenada:
\alpha y_1+\alpha-1+\alpha y_2+\alpha-1+1=\alpha y_1+\alpha y_2+2\alpha-1.
As coordenadas batem com as de \alpha\cdot(u+v). Portanto a distributividade em relação à adição de vetores vale.

Passo 10

Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares:
verifico (\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta\cdot v para v=(x,y).
Calcule LHS:
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)=\big((\alpha+\beta)x,\;(\alpha+\beta)y+(\alpha+\beta)-1\big).
RHS:
\alpha\cdot v+\beta\cdot v=(\alpha x,\;\alpha y+\alpha-1)+(\beta x,\;\beta y+\beta-1).
Somando:
(\alpha x+\beta x,\;\alpha y+\alpha-1+\beta y+\beta-1+1)=( (\alpha+\beta)x,\;\alpha y+\beta y+\alpha+\beta-1).
Que coincide com LHS. Logo a propriedade vale.

Passo 11

Compatibilidade da multiplicação por escalares: verificar (\alpha\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v).
Começando por \beta\cdot v=(\beta x,\;\beta y+\beta-1). Aplicando \alpha:
\alpha\cdot(\beta\cdot v)=\big(\alpha(\beta x),\;\alpha(\beta y+\beta-1)+\alpha-1\big).
Desenvolvendo a segunda coordenada:
\alpha\beta y+\alpha\beta-\alpha+\alpha-1=\alpha\beta y+\alpha\beta-1.
Por outro lado,
(\alpha\beta)\cdot v=(\alpha\beta x,\;\alpha\beta y+\alpha\beta-1).
As duas expressões coincidem. Logo a compatibilidade vale.

Passo 12

Propriedade do escalar zero: 0\cdot v deve ser o elemento neutro aditivo e=(0,-1). Calculando:
0\cdot(x,y)=(0,\;0\cdot y+0-1)=(0,-1)=e.
Portanto 0\cdot v é mesmo o neutro, como exigido.

Passo 13

Resumo das verificações: já mostramos fechamento; que (\mathbb{R}^2,+) é um grupo abeliano (associatividade, comutatividade, neutro (0,-1), e inversos (-x,-y-2)); que a multiplicação por escalares satisfaz todas as propriedades necessárias (distributividades, compatibilidade, 1\cdot v=v, e 0\cdot v é o neutro). Assim todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitos.

Resposta

Sim; \big(\mathbb{R}^2,\;+\;,\;\cdot\big) com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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