Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre mathbb{R} ?
\boldsymbol{V}=\mathbb{R}^{2}
com as operações:
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}-y_{2}, y_{1}+x_{2}\right) . \\\ \alpha \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y+\alpha-1) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \boldsymbol{V}=\mathbb{R}^{2} e define operações de soma e de multiplicação por escalar por:
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}-y_{2},\;y_{1}+x_{2})
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\;\alpha y+\alpha-1)
A pergunta é: esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
Informações relevantes dadas: o conjunto dos vetores é \mathbb{R}^2 (pares de reais) e as operações acima substituem as operações usuais.

Passo 2

O que é preciso checar (definição prática): para ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R} temos que, entre outras coisas, que (\boldsymbol{V},+) seja um grupo abeliano (ou seja: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro 0 com v+0=0+v=v para todo v, existência de inversos aditivos, e comutatividade da soma). Além disso, a multiplicação por escalar tem de satisfazer algumas leis (distributividades, compatibilidade com produto de escalares, 1\cdot v=v, etc.). Se qualquer uma dessas propriedades falhar, então não é espaço vetorial. Vou verificar as propriedades mais simples e que costumam falhar primeiro (soma comutativa e existência de neutro duas faces).
Explicando as palavras:
  • “Comutativa” da soma significa que para quaisquer u,v\in\boldsymbol{V} devemos ter u+v=v+u.
  • “Elemento neutro” (ou identidade aditiva) é um vetor e\in\boldsymbol{V} tal que v+e=v e e+v=v para todo v.

Passo 3

Primeiro: fechamento sob a soma. Se x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}, então x_{1}-y_{2} e y_{1}+x_{2} são reais, logo (x_{1}-y_{2},y_{1}+x_{2})\in\mathbb{R}^{2}. Assim, a operação devolve um par de reais: fechamento OK.
Agora vamos testar a comutatividade da soma. Tome dois vetores quaisquer u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}). Pela definição,
u+v=(x_{1}-y_{2},\;y_{1}+x_{2})
e
v+u=(x_{2}-y_{1},\;y_{2}+x_{1}).
Para que a soma fosse comutativa deveríamos ter igualdade componente a componente para todo x_{i},y_{i}. Comparando a primeira componente exige x_{1}-y_{2}=x_{2}-y_{1}, ou seja x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2} para quaisquer escolhas — isso claramente não é verdade em geral. Para deixar isso mais concreto, escolhemos um contraexemplo numérico.

Passo 4

Contraexemplo simples (mostrando que a soma não é comutativa): escolha
u=(1,0),\qquad v=(0,1).
Então, usando a operação dada,
u+v=(1-1,\;0+0)=(0,0),
enquanto
v+u=(0-0,\;1+1)=(0,2).
Vemos que (0,0)\neq(0,2), logo u+v\neq v+u. Portanto a soma não é comutativa. Como o axioma que exige que (\boldsymbol{V},+) seja um grupo abeliano inclui a comutatividade, isso já basta para concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.

Passo 5

Para reforçar e ensinar como checar identidade aditiva: vamos procurar um elemento e=(a,b)\in\mathbb{R}^2 que satisfaça v+e=v para todo v=(x,y). Usando a definição,
(x,y)+(a,b)=(x-b,\;y+a).
Impor (x-b,y+a)=(x,y) para todo x,y b=0 e a=0, ou seja e=(0,0) é candidato de neutro pela direita (satisfaz v+(0,0)=v para todo v). Mas verificamos a soma pela esquerda:
(0,0)+(x,y)=(0-y,\;0+x)=(-y,x).
Isto raramente é igual a (x,y) (só ocorre para vetores especiais). Portanto não existe um elemento e que seja neutro para ambos os lados; ou seja, não existe identidade aditiva que satisfaça e+v=v e v+e=v para todo v. Outro axioma do grupo abeliano falha.

Passo 6

Como a soma não é comutativa e não há elemento neutro aditivo válido dos dois lados, a estrutura \big(\mathbb{R}^2,\;+\big) não é um grupo abeliano. Isso já impede que \boldsymbol{V} com as operações fornecidas seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Não é necessário verificar as leis envolvendo multiplicação por escalar, porque a falha já é suficiente.

Resposta

Não é espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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