Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre
?
com as operações:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define operações de soma e de multiplicação por escalar por:
A pergunta é: esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre
?
Informações relevantes dadas: o conjunto dos vetores é (pares de reais) e as operações acima substituem as operações usuais.
Informações relevantes dadas: o conjunto dos vetores é
Passo 2
O que é preciso checar (definição prática): para ser um espaço vetorial sobre
temos que, entre outras coisas, que
seja um grupo abeliano (ou seja: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro
com
para todo
, existência de inversos aditivos, e comutatividade da soma). Além disso, a multiplicação por escalar tem de satisfazer algumas leis (distributividades, compatibilidade com produto de escalares,
, etc.). Se qualquer uma dessas propriedades falhar, então não é espaço vetorial. Vou verificar as propriedades mais simples e que costumam falhar primeiro (soma comutativa e existência de neutro duas faces).
Explicando as palavras:
- “Comutativa” da soma significa que para quaisquer
devemos ter . - “Elemento neutro” (ou identidade aditiva) é um vetor
tal que e para todo .
Passo 3
Primeiro: fechamento sob a soma. Se
, então
e
são reais, logo
. Assim, a operação devolve um par de reais: fechamento OK.
Agora vamos testar a comutatividade da soma. Tome dois vetores quaisquer
e
. Pela definição,
e
Para que a soma fosse comutativa deveríamos ter igualdade componente a componente para todo
. Comparando a primeira componente exige
, ou seja
para quaisquer escolhas — isso claramente não é verdade em geral. Para deixar isso mais concreto, escolhemos um contraexemplo numérico.
Passo 4
Contraexemplo simples (mostrando que a soma não é comutativa): escolha
Então, usando a operação dada,
enquanto
Vemos que
, logo
. Portanto a soma não é comutativa. Como o axioma que exige que
seja um grupo abeliano inclui a comutatividade, isso já basta para concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.
Passo 5
Para reforçar e ensinar como checar identidade aditiva: vamos procurar um elemento
que satisfaça
para todo
. Usando a definição,
Impor
para todo
dá
e
, ou seja
é candidato de neutro pela direita (satisfaz
para todo
). Mas verificamos a soma pela esquerda:
Isto raramente é igual a
(só ocorre para vetores especiais). Portanto não existe um elemento
que seja neutro para ambos os lados; ou seja, não existe identidade aditiva que satisfaça
e
para todo
. Outro axioma do grupo abeliano falha.
Passo 6
Como a soma não é comutativa e não há elemento neutro aditivo válido dos dois lados, a estrutura
não é um grupo abeliano. Isso já impede que
com as operações fornecidas seja um espaço vetorial sobre
. Não é necessário verificar as leis envolvendo multiplicação por escalar, porque a falha já é suficiente.
Resposta
Não é espaço vetorial sobre
.