Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre
?
com as operações:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações seguintes: soma de vetores definida por
e multiplicação por escalar definida por
A pergunta é: esse par (conjunto + operações) é um espaço vetorial sobre
? Ou seja, as operações satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial?
Passo 2
O que precisamos verificar (definição prática): um espaço vetorial sobre
é um conjunto com duas operações (soma e multiplicação por escalar) que satisfazem certos axiomas. Vou listar os axiomas principais que normalmente verificamos (usarei
e
):
- Fechamento da soma:
. - Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Existência do vetor nulo
tal que para todo . - Existência de inverso aditivo: para cada
existe com . - Fechamento da multiplicação por escalar:
. - Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
. - Distributividade sobre soma de escalares:
. - Associatividade dos escalares:
. - Identidade multiplicativa do escalar:
.
Basta que um desses axiomas falhe para concluirmos que não é espaço vetorial. Vou verificar os itens essenciais, com explicações bem passo a passo.
Passo 3
Verificando alguns axiomas relativos à soma (são os padrões em
e funcionam normalmente aqui):
Fechamento da soma: se
então
e
é novamente um par de reais, logo está em
. Portanto há fechamento.
Passo 4
Comutatividade e associatividade da soma (explicando por que é óbvio): a soma é feita componente a componente usando a soma usual de números reais. Para comutatividade:
Para associatividade, se tomarmos três vetores, a associatividade da soma de reais garante
Logo os axiomas relacionados à soma funcionam normalmente.
Passo 5
Existência do vetor nulo e inversos aditivos: o vetor
(onde
é o número real zero) é candidato a identidade aditiva, pois
Para um inverso aditivo de
, o vetor
satisfaz
Portanto os axiomas aditivos estão satisfeitos com a soma definida.
Passo 6
Agora vamos às propriedades que envolvem multiplicação por escalar. A multiplicação por escalar foi dada por
Note: aqui há um termo constante
na segunda componente — isso já acende um sinal de alerta, porque em espaços vetoriais a multiplicação por escalar costuma ser linear (sem constantes que não dependem do escalar nem do vetor).
Passo 7
Verificamos o axioma da identidade multiplicativa do escalar: para todo
deve valer
onde
é o número real
. Vamos calcular explicitamente com a definição dada. Para
temos
Para que
seja igual a
teria de ocorrer
, ou seja,
, o que é falso no corpo
. Portanto, em geral
Um contraexemplo numérico simples: tome
. Então
Como um único axioma falha (o axiom 10 acima), já podemos concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.
Passo 8
Para reforçar o entendimento (e para você ter prática de verificar outros axiomas na prova), confira também que a distributividade em relação à soma de escalares falha. Calculemos ambos os lados de
Pelo lado esquerdo:
Pelo lado direito:
Os segundos componentes são diferentes:
versus
. Novamente, escolhemos um exemplo numérico fácil:
e
. Então
enquanto
Logo a igualdade não se mantém, confirmando outra falha de axioma.
Passo 9
Conclusão didática: para ser um espaço vetorial todas as propriedades listadas no Passo 2 precisam valer. Encontramos falhas claras relacionadas à multiplicação por escalar (em particular
e a distributividade sobre soma de escalares falha). Um único axioma violado já é suficiente para afirmar que a estrutura não é um espaço vetorial. Portanto não é necessário verificar os demais axiomas envolvendo escalares — a resposta já está determinada.
Resposta
Não,
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
.