Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre mathbb{R} ?
\boldsymbol{V}=\mathbf{R}^{2}
com as operações:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y+2)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \boldsymbol{V}=\mathbb{R}^{2} com as operações seguintes: soma de vetores definida por
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
e multiplicação por escalar definida por
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\,\alpha y+2).
A pergunta é: esse par (conjunto + operações) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}? Ou seja, as operações satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial?

Passo 2

O que precisamos verificar (definição prática): um espaço vetorial sobre \mathbb{R} é um conjunto com duas operações (soma e multiplicação por escalar) que satisfazem certos axiomas. Vou listar os axiomas principais que normalmente verificamos (usarei u,v,w\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R}):
  1. Fechamento da soma: u+v\in V.
  2. Comutatividade da soma: u+v=v+u.
  3. Associatividade da soma: (u+v)+w=u+(v+w).
  4. Existência do vetor nulo 0_V tal que v+0_V=v para todo v.
  5. Existência de inverso aditivo: para cada v existe -v com v+(-v)=0_V.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: \alpha v\in V.
  7. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
  8. Distributividade sobre soma de escalares: (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v.
  9. Associatividade dos escalares: (\alpha\beta)v=\alpha(\beta v).
  10. Identidade multiplicativa do escalar: 1\cdot v = v.
Basta que um desses axiomas falhe para concluirmos que não é espaço vetorial. Vou verificar os itens essenciais, com explicações bem passo a passo.

Passo 3

Verificando alguns axiomas relativos à soma (são os padrões em \mathbb{R}^2 e funcionam normalmente aqui):
Fechamento da soma: se (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2} então
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}),
e (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) é novamente um par de reais, logo está em \mathbb{R}^{2}. Portanto há fechamento.

Passo 4

Comutatividade e associatividade da soma (explicando por que é óbvio): a soma é feita componente a componente usando a soma usual de números reais. Para comutatividade:
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{2}+x_{1},y_{2}+y_{1})=(x_{2},y_{2})+(x_{1},y_{1}).
Para associatividade, se tomarmos três vetores, a associatividade da soma de reais garante
((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))+(x_{3},y_{3})=(x_{1}+x_{2}+x_{3},y_{1}+y_{2}+y_{3})=(x_{1},y_{1})+((x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})).
Logo os axiomas relacionados à soma funcionam normalmente.

Passo 5

Existência do vetor nulo e inversos aditivos: o vetor (0,0) (onde 0 é o número real zero) é candidato a identidade aditiva, pois
(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
Para um inverso aditivo de (x,y), o vetor (-x,-y) satisfaz
(x,y)+(-x,-y)=(0,0).
Portanto os axiomas aditivos estão satisfeitos com a soma definida.

Passo 6

Agora vamos às propriedades que envolvem multiplicação por escalar. A multiplicação por escalar foi dada por
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\,\alpha y+2).
Note: aqui há um termo constante +2 na segunda componente — isso já acende um sinal de alerta, porque em espaços vetoriais a multiplicação por escalar costuma ser linear (sem constantes que não dependem do escalar nem do vetor).

Passo 7

Verificamos o axioma da identidade multiplicativa do escalar: para todo v\in V deve valer
1\cdot v = v,
onde 1 é o número real 1. Vamos calcular explicitamente com a definição dada. Para v=(x,y) temos
1\cdot(x,y)=(1\cdot x,\,1\cdot y+2)=(x,\,y+2).
Para que 1\cdot(x,y) seja igual a (x,y) teria de ocorrer y+2=y, ou seja, 2=0, o que é falso no corpo \mathbb{R}. Portanto, em geral
1\cdot(x,y)=(x,y+2)\neq(x,y).
Um contraexemplo numérico simples: tome v=(0,0). Então
1\cdot(0,0)=(0,0+2)=(0,2)\neq(0,0).
Como um único axioma falha (o axiom 10 acima), já podemos concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.

Passo 8

Para reforçar o entendimento (e para você ter prática de verificar outros axiomas na prova), confira também que a distributividade em relação à soma de escalares falha. Calculemos ambos os lados de
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)\stackrel{?}{=}\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y).
Pelo lado esquerdo:
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)=\big((\alpha+\beta)x,\,(\alpha+\beta)y+2\big).
Pelo lado direito:
\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y)=\big(\alpha x,\alpha y+2\big)+\big(\beta x,\beta y+2\big)=\big((\alpha+\beta)x,\,(\alpha+\beta)y+4\big).
Os segundos componentes são diferentes: (\alpha+\beta)y+2 versus (\alpha+\beta)y+4. Novamente, escolhemos um exemplo numérico fácil: \alpha=\beta=1 e v=(0,0). Então
2\cdot(0,0)=(0,2)
enquanto
1\cdot(0,0)+1\cdot(0,0)=(0,2)+(0,2)=(0,4).
Logo a igualdade não se mantém, confirmando outra falha de axioma.

Passo 9

Conclusão didática: para ser um espaço vetorial todas as propriedades listadas no Passo 2 precisam valer. Encontramos falhas claras relacionadas à multiplicação por escalar (em particular 1\cdot v\neq v e a distributividade sobre soma de escalares falha). Um único axioma violado já é suficiente para afirmar que a estrutura não é um espaço vetorial. Portanto não é necessário verificar os demais axiomas envolvendo escalares — a resposta já está determinada.

Resposta

Não, \mathbb{R}^{2} com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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