Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para o
?
Escolha uma ou mak:
◯ a.
◯ b.
◯ c
◯ d.
◯ e.
◯ f.
□ g.
□ h.
i.
◯ a.
Passo 1
O enunciado pede: dentre os conjuntos listados (a) a (i), identificar quais são bases de
.
Lista das informações (os vetores de cada conjunto):
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
. - (f)
. - (g)
. - (h)
. - (i)
.
O objetivo é verificar, para cada conjunto, se ele é uma base de
.
Passo 2
Definição e método prático (aulas rápidas e sem medo):
- Uma base de
é um conjunto de vetores que (1) é linearmente independente e (2) gera (espalha) todo . - Em
qualquer base tem exatamente vetores. Logo: - Qualquer conjunto com menos de
vetores não pode ser base (não gera todo ). - Qualquer conjunto com mais de
vetores não pode ser linearmente independente (há dependência linear), portanto também não é base.
- Qualquer conjunto com menos de
- Para conjuntos com exatamente
vetores, um teste prático: formar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se então os 3 vetores são linearmente independentes e, por terem dimensão , eles também geram ; assim formam uma base. Se , são linearmente dependentes e não formam base. - Vou aplicar essas regras a cada item. Vamos com calma, passo a passo.
Passo 3
Análise do item (a):
- O conjunto tem
vetores em . - Em
não existe conjunto de vetores linearmente independentes (a dimensão é ), então esse conjunto não pode ser uma base. - Conclusão: (a) não é base.
Passo 4
Análise do item (b) — cálculo explícito:
- Vetores:
, , . - Formo a matriz cujas colunas são esses vetores:
- Calcular
(expansão pela primeira linha): - Cálculos dos menores:
- Logo
- Como o determinante é diferente de zero, os três vetores são linearmente independentes e formam uma base de
. - Conclusão: (b) é base.]
Passo 5
Análise do item (c) — cálculo explícito:
- Vetores:
, , . - Matriz com colunas esses vetores:
- Calcular
(expansão pela primeira linha): - Cálculos dos menores:
- Então
- Determinante não nulo
os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . - Conclusão: (c) é base.]
Passo 6
Análise do item (d):
- Vetores:
, , . - Matriz:
- Calcular
. Expandindo pela primeira linha: - Menores:
- Então
- Determinante zero
vetores linearmente dependentes, logo não formam base. - Conclusão: (d) não é base.]
Passo 7
Análise do item (e):
- Vetores:
, , . - Matriz:
- Calcular
(expansão pela primeira linha): - Menores:
- Então
- Determinante zero
dependência linear, não é base. - Conclusão: (e) não é base.]
Passo 8
Análise do item (f):
- Vetores:
, , . - Matriz:
- Calcular
(expansão pela primeira linha): - Menores:
- Então
- Determinante zero
vetores dependentes, não é base. - Conclusão: (f) não é base.]
Passo 9
Análise do item (g):
- Vetores:
. - Observação: o segundo vetor é
vezes o primeiro e o terceiro é vezes o primeiro; todos são múltiplos colineares do mesmo vetor. - Logo há dependência linear evidente (todos colineares), determinante zero.
- Conclusão: (g) não é base.
Passo 10
Análise do item (h):
- Vetores:
, , . - Matriz:
- Calcular
(expansão pela primeira linha): - Menores:
- Então
- Determinante zero
dependência linear, não é base. - Conclusão: (h) não é base.]
Passo 11
Análise do item (i):
- O conjunto tem apenas
vetores em . - Com dois vetores não é possível gerar todo
(faltam dimensões), portanto não pode ser uma base. - Conclusão: (i) não é base.
Resposta
b
c