Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para o \mathbb{R}^{3} ?
Escolha uma ou mak:
◯ a.
B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}
◯ b.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}
◯ c
\boldsymbol{E}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}
◯ d.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}
◯ e.
\boldsymbol{B}=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}
◯ f.
\boldsymbol{B}=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}
□ g.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}
□ h.
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}
\_\_\_\_ i.
B=\{(1,0,1),(1,1,0)\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre os conjuntos listados (a) a (i), identificar quais são bases de \mathbb{R}^{3}.
Lista das informações (os vetores de cada conjunto):
  • (a) B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}.
  • (b) \boldsymbol{B}=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}.
  • (c) \boldsymbol{E}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}.
  • (d) \boldsymbol{B}=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}.
  • (e) \boldsymbol{B}=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}.
  • (f) \boldsymbol{B}=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}.
  • (g) \boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}.
  • (h) \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}.
  • (i) B=\{(1,0,1),(1,1,0)\}.
O objetivo é verificar, para cada conjunto, se ele é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definição e método prático (aulas rápidas e sem medo):
  • Uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de vetores que (1) é linearmente independente e (2) gera (espalha) todo \mathbb{R}^{3}.
  • Em \mathbb{R}^{3} qualquer base tem exatamente 3 vetores. Logo:
    • Qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser base (não gera todo \mathbb{R}^{3}).
    • Qualquer conjunto com mais de 3 vetores não pode ser linearmente independente (há dependência linear), portanto também não é base.
  • Para conjuntos com exatamente 3 vetores, um teste prático: formar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se \det(\text{matriz}) \neq 0então os 3 vetores são linearmente independentes e, por terem dimensão 3, eles também geram \mathbb{R}^{3}; assim formam uma base. Se \det=0, são linearmente dependentes e não formam base.
  • Vou aplicar essas regras a cada item. Vamos com calma, passo a passo.

Passo 3

Análise do item (a):
  • O conjunto tem 4 vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • Em \mathbb{R}^{3} não existe conjunto de 4 vetores linearmente independentes (a dimensão é 3), então esse conjunto não pode ser uma base.
  • Conclusão: (a) não é base.

Passo 4

Análise do item (b) — cálculo explícito:
  • Vetores: v_1=(1,2,1), v_2=(0,1,3), v_3=(2,1,0).
  • Formo a matriz cujas colunas são esses vetores: A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\[4pt]2 & 1 & 1\\[4pt]1 & 3 & 0\end{pmatrix}.
  • Calcular \det(A) (expansão pela primeira linha): \det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 0\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
  • Cálculos dos menores: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot3=-3,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5.
  • Logo \det(A)=1\cdot(-3)+2\cdot5=-3+10=7\neq0.
  • Como o determinante é diferente de zero, os três vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • Conclusão: (b) é base.]

Passo 5

Análise do item (c) — cálculo explícito:
  • Vetores: u_1=(1,0,1), u_2=(1,1,0), u_3=(0,1,1).
  • Matriz com colunas esses vetores: B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Calcular \det(B) (expansão pela primeira linha): \det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
  • Cálculos dos menores: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
  • Então \det(B)=1-1\cdot(-1)=1+1=2\neq0.
  • Determinante não nulo \Rightarrow os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • Conclusão: (c) é base.]

Passo 6

Análise do item (d):
  • Vetores: w_1=(1,2,0), w_2=(2,4,1), w_3=(3,6,2).
  • Matriz: C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 4 & 6\\[4pt]0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Calcular \det\text{(C)}. Expandindo pela primeira linha: \det\text{(C)}=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 6\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Menores: \det\begin{pmatrix}4 & 6\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-6\cdot1=8-6=2,
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-6\cdot0=4,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-4\cdot0=2.
  • Então \det\text{(C)}=1\cdot2-2\cdot4+3\cdot2=2-8+6=0.
  • Determinante zero \Rightarrow vetores linearmente dependentes, logo não formam base.
  • Conclusão: (d) não é base.]

Passo 7

Análise do item (e):
  • Vetores: p_1=(2,1,0), p_2=(1,1,1), p_3=(0,1,2).
  • Matriz: D=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Calcular \det(D) (expansão pela primeira linha): \det(D)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
  • Menores: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2.
  • Então \det(D)=2\cdot1-1\cdot2=2-2=0.
  • Determinante zero \Rightarrow dependência linear, não é base.
  • Conclusão: (e) não é base.]

Passo 8

Análise do item (f):
  • Vetores: q_1=(1,1,1), q_2=(2,3,4), q_3=(3,4,5).
  • Matriz: E=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]1 & 3 & 4\\[4pt]1 & 4 & 5\end{pmatrix}.
  • Calcular \det(E) (expansão pela primeira linha): \det(E)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}.
  • Menores: \det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-4\cdot4=15-16=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-4\cdot1=5-4=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot1=4-3=1.
  • Então \det(E)=1\cdot(-1)-2\cdot1+3\cdot1=-1-2+3=0.
  • Determinante zero \Rightarrow vetores dependentes, não é base.
  • Conclusão: (f) não é base.]

Passo 9

Análise do item (g):
  • Vetores: (1,2,3),(2,4,6),(3,6,9).
  • Observação: o segundo vetor é 2 vezes o primeiro e o terceiro é 3 vezes o primeiro; todos são múltiplos colineares do mesmo vetor.
  • Logo há dependência linear evidente (todos colineares), determinante zero.
  • Conclusão: (g) não é base.

Passo 10

Análise do item (h):
  • Vetores: r_1=(1,0,1), r_2=(2,1,3), r_3=(3,1,4).
  • Matriz: F=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 3 & 4\end{pmatrix}.
  • Calcular \det(F) (expansão pela primeira linha): \det(F)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
  • Menores: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot3=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot1=-1.
  • Então \det(F)=1-2\cdot(-1)+3\cdot(-1)=1+2-3=0.
  • Determinante zero \Rightarrow dependência linear, não é base.
  • Conclusão: (h) não é base.]

Passo 11

Análise do item (i):
  • O conjunto tem apenas 2 vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • Com dois vetores não é possível gerar todo \mathbb{R}^{3} (faltam dimensões), portanto não pode ser uma base.
  • Conclusão: (i) não é base.

Resposta

b
c

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