Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.
Determine o volume limitado pelo toro \rho=\operatorname{sen} \varphi.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume limitado pelo toro dado pela equação \rho=\sin\varphi.
Informações dadas: a superfície está escrita em coordenadas esféricas como \rho=\sin\varphi.
O que precisamos encontrar: o volume do sólido cujo contorno é essa superfície.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas (sem resolver ainda): a equação está explicitamente em coordenadas esféricas ( \rho,\varphi,\theta); por isso essas coordenadas são as mais apropriadas — elas tornam a descrição do sólido simples (um limite radial \rho=\sin\varphi).
Como curiosidade/checagem, posso passar para coordenadas cilíndricas para reconhecer a forma geométrica: em coordenadas cilíndricas usamos s=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e sabemos que \sin\varphi = \dfrac{s}{\rho}. Da equação \rho=\sin\varphi obtemos \rho^{2}=s, ou seja
s^{2}+z^{2}=s.
Reescrevendo,
(s-\tfrac{1}{2})^{2}+z^{2}=\tfrac{1}{4},
que é a equação de um círculo de raio \tfrac{1}{2} no plano (s,z) girado em torno do eixo z: é exatamente um toro com raio maior a=\tfrac{1}{2} e raio menor b=\tfrac{1}{2}. Isso confirma que a superfície é um toro e serve como verificação do resultado que vamos obter pela integral.

Passo 3

Aula rápida sobre coordenadas esféricas e elemento de volume (pra você lembrar na prova):
  • Em coordenadas esféricas uma posição no espaço é dada por (\rho,\varphi,\theta) onde \rho é a distância ao origem, \varphi é o ângulo colatitude contado a partir do eixo z (ou seja \varphi=0 no polo norte) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
  • As relações com coordenadas cartesianas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Breve justificativa intuitiva: um pequeno paralelepípedo em esféricas tem dimensões aproximadas \Delta\rho, \rho\,\Delta\varphi e \rho\sin\varphi\,\Delta\theta; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta.

Passo 4

Descrições dos limites do sólido em esféricas: a superfície dá o máximo radial \rho=\sin\varphi. Para cada direção (\varphi,\theta) onde \sin\varphi\ge0 (isto é \varphi\in[0,\pi]), o ponto interno vai de \rho=0 até \rho=\sin\varphi. O ângulo azimutal \theta percorre toda a volta: \theta\in[0,2\pi]. Logo os limites são
0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\rho\le\sin\varphi.
Montamos a integral do volume:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{\sin\varphi}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{\sin\varphi}=\frac{\sin^{3}\varphi}{3}.
Multiplicando pelo \sin\varphi que vem do Jacobiano:
\int_{0}^{\sin\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho=\frac{1}{3}\sin^{4}\varphi.
Agora a integral sobre \varphi e \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3}\sin^{4}\varphi\,d\varphi=\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.
Precisamos calcular I=\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi. Use a identidade trigonométrica
\sin^{2}\varphi=\frac{1-\cos 2\varphi}{2},
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\sin^{4}\varphi=\left(\sin^{2}\varphi\right)^{2}=\left(\frac{1-\cos 2\varphi}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2\varphi+\frac{1}{8}\cos 4\varphi.
Integrando de 0 a \pi, os termos com \cos 2\varphi e \cos 4\varphi têm integral zero (são funções com média zero nesse intervalo), portanto
I=\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{\pi}\frac{3}{8}\,d\varphi=\frac{3}{8}\pi.
Substituindo em V:
V=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{8}\pi=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi^{2}}{4}.

Passo 6

Checagem rápida (intuição geométrica): como vimos no Passo 2 o toro é gerado pela rotação de um círculo de raio b=\tfrac{1}{2} cujo centro fica a distância a=\tfrac{1}{2} do eixo. Pelo teorema de Pappus, o volume do toro é
V=(\text{área do disco})\times(\text{comprimento da circunferência descrita pelo centro})=\pi b^{2}\cdot 2\pi a=\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot 2\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4},áê
concordando com o resultado da integral. Isso serve como verificação.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}

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