Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.
Determine o volume limitado pelo toro \rho=\operatorname{sen} \varphi.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume limitado pelo toro dado pela equação \rho=\sin\varphi.
Informações dadas: a superfície está escrita em coordenadas esféricas como \rho=\sin\varphi.
O que precisamos encontrar: o volume do sólido cujo contorno é essa superfície.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas (sem resolver ainda): a equação está explicitamente em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta); por isso essas coordenadas são as mais apropriadas — elas tornam a descrição do sólido simples (um limite radial \rho=\sin\varphi).
Como curiosidade/checagem, posso passar para coordenadas cilíndricas para reconhecer a forma geométrica: em coordenadas cilíndricas usamos s=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e sabemos que \sin\varphi = \dfrac{s}{\rho}. Da equação \rho=\sin\varphi obtemos \rho^{2}=s, ou seja
s^{2}+z^{2}=s.
Reescrevendo,
(s-\tfrac{1}{2})^{2}+z^{2}=\tfrac{1}{4},
que é a equação de um círculo de raio \tfrac{1}{2} no plano (s,z) girado em torno do eixo z: é exatamente um toro com raio maior a=\tfrac{1}{2} e raio menor b=\tfrac{1}{2}. Isso confirma que a superfície é um toro e serve como verificação do resultado que vamos obter pela integral.
Passo 3
Aula rápida sobre coordenadas esféricas e elemento de volume (pra você lembrar na prova):
Em coordenadas esféricas uma posição no espaço é dada por (\rho,\varphi,\theta) onde \rho é a distância ao origem, \varphi é o ângulo colatitude contado a partir do eixo z (ou seja \varphi=0 no polo norte) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
Breve justificativa intuitiva: um pequeno paralelepípedo em esféricas tem dimensões aproximadas \Delta\rho, \rho\,\Delta\varphi e \rho\sin\varphi\,\Delta\theta; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta.
Passo 4
Descrições dos limites do sólido em esféricas: a superfície dá o máximo radial \rho=\sin\varphi. Para cada direção (\varphi,\theta) onde \sin\varphi\ge0 (isto é \varphi\in[0,\pi]), o ponto interno vai de \rho=0 até \rho=\sin\varphi. O ângulo azimutal \theta percorre toda a volta: \theta\in[0,2\pi]. Logo os limites são
Checagem rápida (intuição geométrica): como vimos no Passo 2 o toro é gerado pela rotação de um círculo de raio b=\tfrac{1}{2} cujo centro fica a distância a=\tfrac{1}{2} do eixo. Pelo teorema de Pappus, o volume do toro é
V=(\text{área do disco})\times(\text{comprimento da circunferência descrita pelo centro})=\pi b^{2}\cdot 2\pi a=\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot 2\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4},áê
concordando com o resultado da integral. Isso serve como verificação.