Estude os capítulos 9 a 12 do livro texto da disciplina de Circuitos Elétricos (ref. ALEXANDER/SADIKU) e elabore respostas de sua autoria (com suas próprias palavras, redigidas à mão por você) para as questões a seguir:
Demonstre como se pode determinar a reatância indutiva ou capacitiva a partir da frequência e da indutância ou capacitância, derivando a equação que relaciona essas três variáveis a partir das relações, no domínio do tempo, entre tensão e corrente em um capacitor e em um indutor.
Demonstre como se pode determinar a reatância indutiva ou capacitiva a partir da frequência e da indutância ou capacitância, derivando a equação que relaciona essas três variáveis a partir das relações, no domínio do tempo, entre tensão e corrente em um capacitor e em um indutor.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar como encontrar a reatância indutiva ou capacitiva a partir da frequência e da indutância ou capacitância, fazendo a dedução a partir das relações no domínio do tempo entre tensão e corrente num indutor e num capacitor.
Informações dadas (que vamos usar):
Informações dadas (que vamos usar):
- Relação tempo-domínio para o indutor:
. - Relação tempo-domínio para o capacitor:
. - Assumiremos regime senoidal permanente (tensão e corrente são sinais senoidais de mesma frequência
, com ).
Passo 2
Vamos recordar e definir coisas básicas, de forma tranquila. Um sinal senoidal pode ser escrito como, por exemplo, para a corrente:
onde
é a amplitude de pico da corrente,
é a frequência angular (
), e
é a fase. A tensão senoidal tem forma parecida:
RMS (valor eficaz) relaciona-se com pico por
e
.
A reatância é, por definição prática em AC, a razão entre a amplitude (ou valor eficaz) da tensão e da corrente: por exemplo, para um componente puramente reativo definimos . Queremos obter
(indutor) e
(capacitor) em função de
e
ou
.
A reatância é, por definição prática em AC, a razão entre a amplitude (ou valor eficaz) da tensão e da corrente: por exemplo, para um componente puramente reativo definimos
Passo 3
Derivação para o indutor a partir de
.
Escolho uma corrente senoidal como entrada ao indutor com fase zero (posso sempre escolher referência de fase):
Escolho uma corrente senoidal como entrada ao indutor com fase zero (posso sempre escolher referência de fase):
Calculo a derivada:
Uma identidade útil é
, então posso escrever
Multiplicando por
obtemos a tensão no indutor:
Daí a amplitude de pico da tensão é
. Tomando razões de amplitudes:
Como a razão entre valores eficazes é a mesma (dividindo numerador e denominador por
), temos:
Definindo reatância indutiva
, segue
Finalmente substituindo
obtemos a forma usual em função da frequência:
Observação física rápida (útil na prova): a tensão no indutor está defasada de
em relação à corrente (o termo
acima), o que significa que a tensão “antecede” a corrente num indutor.
Passo 4
Derivação para o capacitor a partir de
.
Escolho agora uma tensão senoidal aplicada ao capacitor:
Escolho agora uma tensão senoidal aplicada ao capacitor:
Derivando:
Usando novamente a identidade
, temos
Multiplicando por
vem a corrente:
Logo a amplitude de pico da corrente é
. Fazendo a razão tensão/ corrente em amplitude:
Em valores eficazes a igualdade se mantém:
Definindo reatância capacitiva
, obtemos
Substituindo
obtemos a forma em função de
:
Observação física rápida: a corrente no capacitor está defasada de
em relação à tensão (ou seja, a corrente “antecede” a tensão), o que aparece no deslocamento de fase
acima.
Passo 5
Resumo conceitual e notas práticas (para você lembrar na prova):
- Reatância tem unidades de ohm (
) e mede a oposição ao fluxo de corrente em corrente alternada, mas só em magnitude (não inclui sinal de fase). - Indutor: a oposição cresce com a frequência (
). Em altas frequências um indutor se torna um “alto” impedimento. - Capacitor: a oposição decresce com a frequência (
). Em altas frequências um capacitor se aproxima de curto-circuito (reatância pequena). - Alternativa usando fasores/complexos: em notação fasorial
para o indutor e para o capacitor, o que mostra também a componente imaginária (defasagem de ) — mas a derivação acima já foi feita só com tempo-domínio e identidades trigonométricas, como o enunciado pedia.