Estude os capítulos 9 a 12 do livro texto da disciplina de Circuitos Elétricos (ref. ALEXANDER/SADIKU) e elabore respostas de sua autoria (com suas próprias palavras, redigidas à mão por você) para as questões a seguir:
Demonstre como se pode determinar a reatância indutiva ou capacitiva a partir da frequência e da indutância ou capacitância, derivando a equação que relaciona essas três variáveis a partir das relações, no domínio do tempo, entre tensão e corrente em um capacitor e em um indutor.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar como encontrar a reatância indutiva ou capacitiva a partir da frequência e da indutância ou capacitância, fazendo a dedução a partir das relações no domínio do tempo entre tensão e corrente num indutor e num capacitor.
Informações dadas (que vamos usar):
  • Relação tempo-domínio para o indutor: \;v_L(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}\;.
  • Relação tempo-domínio para o capacitor: \;i_C(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}\;.
  • Assumiremos regime senoidal permanente (tensão e corrente são sinais senoidais de mesma frequência f, com \omega=2\pi f).

Passo 2

Vamos recordar e definir coisas básicas, de forma tranquila. Um sinal senoidal pode ser escrito como, por exemplo, para a corrente:
i(t)=I_m\cos\bigl(\omega t+\varphi_i\bigr),
onde \;I_m\; é a amplitude de pico da corrente, \;\omega\; é a frequência angular ( \omega=2\pi f), e \;\varphi_i\; é a fase. A tensão senoidal tem forma parecida:
v(t)=V_m\cos\bigl(\omega t+\varphi_v\bigr).
RMS (valor eficaz) relaciona-se com pico por \;I_{\text{rms}}=I_m/\sqrt{2}\; e \;V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2}\;.
A reatância é, por definição prática em AC, a razão entre a amplitude (ou valor eficaz) da tensão e da corrente: por exemplo, para um componente puramente reativo definimos \;X=\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}\;. Queremos obter X_L (indutor) e X_C (capacitor) em função de f e L ou C.

Passo 3

Derivação para o indutor a partir de \;v_L(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}\;.
Escolho uma corrente senoidal como entrada ao indutor com fase zero (posso sempre escolher referência de fase):
i(t)=I_m\cos(\omega t).
Calculo a derivada:
\dfrac{di(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl[I_m\cos(\omega t)\bigr]=-I_m\omega\sin(\omega t).
Uma identidade útil é \;-\sin(\omega t)=\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\;, então posso escrever
\dfrac{di(t)}{dt}=I_m\omega\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Multiplicando por L obtemos a tensão no indutor:
v_L(t)=L\;I_m\omega\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Daí a amplitude de pico da tensão é \;V_m=\omega L\,I_m\;. Tomando razões de amplitudes:
\dfrac{V_m}{I_m}=\omega L.
Como a razão entre valores eficazes é a mesma (dividindo numerador e denominador por \sqrt{2}), temos:
\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}=\omega L.
Definindo reatância indutiva \;X_L=\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}\;, segue
X_L=\omega L.
Finalmente substituindo \;\omega=2\pi f\; obtemos a forma usual em função da frequência:
X_L=2\pi f\,L.
Observação física rápida (útil na prova): a tensão no indutor está defasada de +90^\circ em relação à corrente (o termo \tfrac{\pi}{2} acima), o que significa que a tensão “antecede” a corrente num indutor.

Passo 4

Derivação para o capacitor a partir de \;i_C(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}\;.
Escolho agora uma tensão senoidal aplicada ao capacitor:
v(t)=V_m\cos(\omega t).
Derivando:
\dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl[V_m\cos(\omega t)\bigr]=-V_m\omega\sin(\omega t).
Usando novamente a identidade -\sin(\omega t)=\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr), temos
\dfrac{dv(t)}{dt}=V_m\omega\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Multiplicando por C vem a corrente:
i_C(t)=C\,V_m\omega\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Logo a amplitude de pico da corrente é \;I_m=\omega C\,V_m\;. Fazendo a razão tensão/ corrente em amplitude:
\dfrac{V_m}{I_m}=\dfrac{1}{\omega C}.
Em valores eficazes a igualdade se mantém:
\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}=\dfrac{1}{\omega C}.
Definindo reatância capacitiva \;X_C=\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}\;, obtemos
X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
Substituindo \;\omega=2\pi f\; obtemos a forma em função de f:
X_C=\dfrac{1}{2\pi f\,C}.
Observação física rápida: a corrente no capacitor está defasada de +90^\circ em relação à tensão (ou seja, a corrente “antecede” a tensão), o que aparece no deslocamento de fase \tfrac{\pi}{2} acima.

Passo 5

Resumo conceitual e notas práticas (para você lembrar na prova):
  • Reatância tem unidades de ohm ( \Omega) e mede a oposição ao fluxo de corrente em corrente alternada, mas só em magnitude (não inclui sinal de fase).
  • Indutor: a oposição cresce com a frequência ( X_L\propto f). Em altas frequências um indutor se torna um “alto” impedimento.
  • Capacitor: a oposição decresce com a frequência ( X_C\propto 1/f). Em altas frequências um capacitor se aproxima de curto-circuito (reatância pequena).
  • Alternativa usando fasores/complexos: em notação fasorial \;V=j\omega L\,I\; para o indutor e \;I=j\omega C\,V\; para o capacitor, o que mostra também a componente imaginária (defasagem de \pm 90^\circ) — mas a derivação acima já foi feita só com tempo-domínio e identidades trigonométricas, como o enunciado pedia.

Resposta

X_L = 2\pi f\,L
X_C = \dfrac{1}{2\pi f\,C}

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