Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada: Determine o volume do sólido B que está acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1.
(Dica: Em coordenadas esféricas temos z=raizx^2+y^2 o que implica em cos (phi)=sen(phi) e consequentemente phi=pi / 4. A região é B=(rho, theta, phi) mid 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= rho <= 1,0 <= phi <= pi / 4. O cálculo é feito diretamente e separadamente utilizando os limites de integração da região B. A resposta é pi(2-raiz2) / 3.)

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular o volume do sólido B que fica acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar os limites de integração e o jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as transformações x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o elemento de volume dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A condição z=raizx^2+y^2 implica cosphi=sinphi, ou seja phi=pi/4.

Passo 3

A região B em esféricas é definida por
[\n0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4,\quad 0\le\rho\le1.\n]\nLogo o volume de B é dado pela integral tripla

Passo 4

Vamos integrar primeiro em rho:
[\n\int_{0}{1}\rho2,d\rho=\left[\frac{\rho3}{3}\right]_01=\frac{1}{3}.\n]
Agora a integral em phi é
[\n\int_{0}{\pi/4}\sin\phi,d\phi=[-\cos\phi]_0{\pi/4}=1-\frac{\sqrt2}{2}.\n]

Passo 5

A integral em theta
[\n\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi.\n]
Multiplicando os resultados parciais obtemos
[\nV=\frac{1}{3}\times\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\times2\pi=\frac{2\pi}{3}\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr).\n]

Resposta

dfracpi,(2-raiz2)3

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