Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada: Determine o volume do sólido
que está acima do cone
e abaixo da esfera
.
(Dica: Em coordenadas esféricas temos
o que implica em
e consequentemente
. A região é
. O cálculo é feito diretamente e separadamente utilizando os limites de integração da região
. A resposta é
.)
(Dica: Em coordenadas esféricas temos
Passo 1
Nesse exercício queremos calcular o volume do sólido B que fica acima do cone
e abaixo da esfera
. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar os limites de integração e o jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as transformações
,
,
e o elemento de volume
. A condição
implica
, ou seja
.
Passo 3
A região B em esféricas é definida por
[\n0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4,\quad 0\le\rho\le1.\n]\nLogo o volume de B é dado pela integral tripla
[\n0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4,\quad 0\le\rho\le1.\n]\nLogo o volume de B é dado pela integral tripla
Passo 4
Vamos integrar primeiro em
:
[\n\int_{0}{1}\rho2,d\rho=\left[\frac{\rho3}{3}\right]_01=\frac{1}{3}.\n]
[\n\int_{0}{1}\rho2,d\rho=\left[\frac{\rho3}{3}\right]_01=\frac{1}{3}.\n]
Agora a integral em
é
[\n\int_{0}{\pi/4}\sin\phi,d\phi=[-\cos\phi]_0{\pi/4}=1-\frac{\sqrt2}{2}.\n]
[\n\int_{0}{\pi/4}\sin\phi,d\phi=[-\cos\phi]_0{\pi/4}=1-\frac{\sqrt2}{2}.\n]
Passo 5
A integral em
dá
[\n\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi.\n]
[\n\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi.\n]
Multiplicando os resultados parciais obtemos
[\nV=\frac{1}{3}\times\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\times2\pi=\frac{2\pi}{3}\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr).\n]
[\nV=\frac{1}{3}\times\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\times2\pi=\frac{2\pi}{3}\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr).\n]