Suponha que a temperatura em um ponto
em uma placa de metal seja dada por
. Uma formiga, caminhando sobre a placa, percorre um círculo de raio 5 centrado na origem. Use multiplicadores de Lagrange para calcular quais são as temperaturas mais altas e mais baixas encontradas pela formiga.
Passo 1
O enunciado pede pra achar extremos da função de temperatura
sobre a circunferência
usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar o sistema
com
.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
e de
:
Passo 3
Imponha as condições de Lagrange:
Passo 4
Das duas primeiras equações expressamos
:
Igualando-as, obtemos uma relação algébrica em
que, junto com
, dá o sistema a resolver.
Passo 5
Para resolver de forma mais direta, parametrizamos o círculo:
Substituindo em
e usando as identidades de ângulo duplo, chega-se a
Então derivamos em relação a
e igualamos a zero para achar os
críticos.
Passo 6
Resolvendo numericamente
no intervalo
achamos quatro valores de
que dão oito pontos críticos na circunferência. Avaliando
nestes pontos, obtemos os valores de temperatura associados.
Passo 7
Dos valores obtidos, o maior de todos é aproximadamente
e o menor é aproximadamente
.
Resposta
Temperatura máxima ≃ 76.92 (em
); temperatura mínima ≃ -55.13 (em
).