Suponha que a temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal seja dada por T(x, y)=4 x-4 x y+y^2. Uma formiga, caminhando sobre a placa, percorre um círculo de raio 5 centrado na origem. Use multiplicadores de Lagrange para calcular quais são as temperaturas mais altas e mais baixas encontradas pela formiga.

Passo 1

O enunciado pede pra achar extremos da função de temperatura T(x,y)=4x-4xy+y^2 sobre a circunferência x^2+y^2=25 usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar o sistema nabla T=lambdanabla g com g(x,y)=x^2+y^2-25=0.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de T e de g:
partial Tpartial x=4-4y, partial Tpartial y=-4x+2y, nabla g=(2x,2y)

Passo 3

Imponha as condições de Lagrange:
4-4y=2lambda x, -4x+2y=2lambda y, x^2+y^2=25

Passo 4

Das duas primeiras equações expressamos lambda:
lambda=4-4y2x=2(1-y)x, lambda=-4x+2y2y=-2x+yy
Igualando-as, obtemos uma relação algébrica em x,y que, junto com x^2+y^2=25, dá o sistema a resolver.

Passo 5

Para resolver de forma mais direta, parametrizamos o círculo:
x=5costheta, y=5sintheta
Substituindo em T e usando as identidades de ângulo duplo, chega-se a
T(theta)=20costheta-50sin(2theta)+12.5-12.5cos(2theta)
Então derivamos em relação a theta e igualamos a zero para achar os theta críticos.

Passo 6

Resolvendo numericamente T'(theta)=0 no intervalo [0,2pi) achamos quatro valores de theta que dão oito pontos críticos na circunferência. Avaliando T(theta) nestes pontos, obtemos os valores de temperatura associados.

Passo 7

Dos valores obtidos, o maior de todos é aproximadamente Tmaxapprox76.92 e o menor é aproximadamente Tminapprox-55.13.

Resposta

Temperatura máxima ≃ 76.92 (em (x,y)approx(3.31,-3.74)); temperatura mínima ≃ -55.13 (em (x,y)approx(-4.10,-2.86)).

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