Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto P se: z=x^2+4 y^2, P=(2,1, f(2,1))

Passo 1

Relembrando o enunciado: queremos o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) definida por f(x,y)=x^2+4y^2 no ponto P=(2,1,f(2,1)). Para isso vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
z = f(a,b) + fx(a,b)(x - a) + fy(a,b)(y - b)
Aqui, (a,b)=(2,1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=x^2+4y^2, temos
fx(x,y) = 2x
fy(x,y) = 8y
e então avaliamos em (2,1):
fx(2,1)=2cdot2=4, fy(2,1)=8cdot1=8

Passo 3

Avaliamos f(2,1). Basta substituir:
f(2,1)=2^2 + 4cdot1^2 = 4+4=8

Passo 4

Montamos o plano tangente usando a fórmula. Substituindo f(2,1)=8, fx(2,1)=4 e fy(2,1)=8, obtemos
z = 8 + 4(x - 2) + 8(y - 1)

Passo 5

Simplificamos a expressão:
z = 8 + 4x -8 + 8y -8 = 4x + 8y -8

Resposta

z = 4x + 8y -8

Exercícios relacionados