Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y^{\prime}=y(a-b y),

Passo 1

Estamos tratando de uma equação diferencial autônoma do tipo y'=y(a-by). O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações autônomas: vamos precisar encontrar pontos de equilíbrio (isto é, valores de y onde y'=0), classificar a estabilidade usando a derivada f'(y), desenhar a reta de fase, esboçar o campo de direções no plano (t,y) e, sobre ele, algumas curvas integrais.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, impomos y'=0. Ou seja,
y(a-by)=0
Isso dá duas soluções:
y=0ou y=ab,
assumindo bneq0.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, definimos f(y)=y(a-by) e calculamos
f'(y)=a-2by
Em y=0:
f'(0)=a>0,
logo o equilíbrio em y=0 é instável.
Em y=tfracab:
f'l(tfracabr)=a-2bcdottfracab=-a<0,
logo o equilíbrio em y=tfracab é assintoticamente estável.

Passo 4

Para a reta de fase no eixo y: marque 0 e a/b. Se y<0, temos f(y)<0 (setas para baixo); se 0, f(y)>0 (setas para cima); se y>a/b, f(y)<0 (setas para baixo). Assim o fluxo vai de 0 em direção a a/b.

Passo 5

Para o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto depende só de y: cada linha horizontal tem um padrão constante de flechas com inclinação f(y). Sobre esse campo, as curvas integrais (soluções) partindo de diferentes valores iniciais vão subir ou descer seguindo as setas, aproximando-se de y=a/b conforme tto+infty (quando a condição inicial y(0)>0) ou decaindo para -infty se y(0)<0.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=0 (instável) e y=tfracab (assintoticamente estável).

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