Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y^{\prime}=y(a-b y),
y^{\prime}=y(a-b y),
Passo 1
Estamos tratando de uma equação diferencial autônoma do tipo
. O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações autônomas: vamos precisar encontrar pontos de equilíbrio (isto é, valores de
onde
), classificar a estabilidade usando a derivada
, desenhar a reta de fase, esboçar o campo de direções no plano
e, sobre ele, algumas curvas integrais.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, impomos
. Ou seja,
Isso dá duas soluções:
assumindo
.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, definimos
e calculamos
Em
logo o equilíbrio em
é instável.
Em :
Em
logo o equilíbrio em
Passo 4
Para a reta de fase no eixo
: marque
e
. Se
, temos
(setas para baixo); se
,
(setas para cima); se
,
(setas para baixo). Assim o fluxo vai de
em direção a
.
Passo 5
Para o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto depende só de
: cada linha horizontal tem um padrão constante de flechas com inclinação
. Sobre esse campo, as curvas integrais (soluções) partindo de diferentes valores iniciais vão subir ou descer seguindo as setas, aproximando-se de
conforme
(quando a condição inicial
) ou decaindo para
se
.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
(instável) e
(assintoticamente estável).