Represente, no plano-
, o conjunto
e no plano-
a imagem do conjunto
pela transformação
. Repita o exercício para a função
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: temos o conjunto
A={z=x+jy∈ℂ | x∈ℤ ou y∈ℤ}, e precisamos desenhar A no plano-z e depois seu conjunto imagem no plano-w para as transformações w=1/z e w=exp(z).
A={z=x+jy∈ℂ | x∈ℤ ou y∈ℤ}, e precisamos desenhar A no plano-z e depois seu conjunto imagem no plano-w para as transformações w=1/z e w=exp(z).
Passo 2
No plano-z, x∈ℤ ou y∈ℤ significa que A é a união de todas as retas verticais x=k e todas as retas horizontais y=k, com k inteiro. Em outras palavras, uma grade infinita de retas espaçadas de 1 unidade.
Passo 3
Para w=1/z usamos que esta inversão complexa manda linhas e círculos em linhas ou círculos. Primeiro analisamos as retas verticais x=k: se k≠0, cada ponto z=k+jy vira
w=1/(k+jy)=(k−jy)/(k²+y²),
que descreve um círculo de centro (1/(2k),0) e raio 1/(2|k|). A reta x=0 (eixo imaginário) vira o próprio eixo imaginário (pois w=1/(jy)=−j/y).
w=1/(k+jy)=(k−jy)/(k²+y²),
que descreve um círculo de centro (1/(2k),0) e raio 1/(2|k|). A reta x=0 (eixo imaginário) vira o próprio eixo imaginário (pois w=1/(jy)=−j/y).
Passo 4
Agora as retas horizontais y=k: se k≠0, z=x+j
k implica
w=1/(x+j
k)=(x−j
k)/(x²+k²),
que é um círculo de centro (0,−1/(2k)) e raio 1/(2|k|). A reta y=0 (eixo real) vira o próprio eixo real (w=1/x).
k implica
w=1/(x+j
k)=(x−j
k)/(x²+k²),
que é um círculo de centro (0,−1/(2k)) e raio 1/(2|k|). A reta y=0 (eixo real) vira o próprio eixo real (w=1/x).
Passo 5
Para w=exp(z) escrevemos exp(x+j
y)=ex·e{j
y}. Nas retas verticais x=k fixo, y varia, temos |w|=e^k e arg
w=y, logo é o círculo concêntrico ao redor da origem de raio e^k. Nas retas horizontais y=k fixo, x varia, temos arg
w=k e |w| varrendo (0,+∞), ou seja uma semirreta que parte da origem com ângulo k (em radianos).
y)=ex·e{j
y}. Nas retas verticais x=k fixo, y varia, temos |w|=e^k e arg
w=y, logo é o círculo concêntrico ao redor da origem de raio e^k. Nas retas horizontais y=k fixo, x varia, temos arg
w=k e |w| varrendo (0,+∞), ou seja uma semirreta que parte da origem com ângulo k (em radianos).
Passo 6
Montamos assim a imagem de toda a grade: sob w=1/z obtemos uma grade circular ortogonal de círculos e eixos; sob w=exp(z) obtemos um reticulado polar de círculos concêntricos (para x=k) e semirretas radiais (para y=k).
Resposta
No plano-z, A é a grade formada por todas as retas x=k e y=k, k∈ℤ. Sob w=1/z, as retas x=k (k≠0) viram círculos de centro (1/(2k),0) e raio 1/(2|k|), a reta x=0 vira o eixo imaginário; as retas y=k (k≠0) viram círculos de centro (0,−1/(2k)) e raio 1/(2|k|), a reta y=0 vira o eixo real. Sob w=exp(z), as retas verticais x=k mapeiam em círculos concêntricos de raio e^k, e as retas horizontais y=k mapeiam em semirretas que partem da origem com ângulo k (rad).