Descreva a região na qual a função
f(z)=xx^2+y^2-j yx^2+y^2
é analítica. Agora faça o mesmo para a função
f(z)=xx^2+y^2+j yx^2+y^2
Resp. Qualquer domínio que não contenha a origem; Ponto algum.

Passo 1

O enunciado pede para descrever onde as funções de variável complexa
f1(z)=xx^2+y^2-jyx^2+y^2
e
f2(z)=xx^2+y^2+jyx^2+y^2
são analíticas. O conteúdo usado será o critério de Cauchy–Riemann: para uma função f(z)=u(x,y)+jv(x,y), ela é analítica onde as equações
ux=vye uy=-vx
são satisfeitas e as derivadas existem e são contínuas.

Passo 2

Para f1(z)=u+jv com
u=xx^2+y^2, v=-yx^2+y^2,
calculamos as derivadas parciais:
ux=y^2-x^2(x^2+y^2)^2, uy=-2xy(x^2+y^2)^2,
vx=2xy(x^2+y^2)^2, vy=y^2-x^2(x^2+y^2)^2
Comparando, vemos que
ux=vye uy=-vx
sempre que x^2+y^2neq0.

Passo 3

Logo, f1 satisfaz Cauchy–Riemann em todo ponto que não seja a origem, isto é, em Csetminus0.

Passo 4

Para f2(z)=u+jv com
u=xx^2+y^2, v=yx^2+y^2,
as derivadas parciais são
ux=y^2-x^2(x^2+y^2)^2, uy=-2xy(x^2+y^2)^2,
vx=-2xy(x^2+y^2)^2, vy=x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Aqui nunca se tem simultaneamente ux=vy e uy=-vx (exceto em pontos isolados não formando domínio), portanto não há região onde f2 seja analítica.

Resposta

Para f1(z): analítica em qualquer domínio que não contenha a origem ( Csetminus0). Para f2(z): não existe ponto onde seja analítica.

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