Descreva a região na qual a função
é analítica. Agora faça o mesmo para a função
Resp. Qualquer domínio que não contenha a origem; Ponto algum.
Passo 1
O enunciado pede para descrever onde as funções de variável complexa
e
são analíticas. O conteúdo usado será o critério de Cauchy–Riemann: para uma função
, ela é analítica onde as equações
são satisfeitas e as derivadas existem e são contínuas.
Passo 2
Para
com
calculamos as derivadas parciais:
Comparando, vemos que
sempre que
.
Passo 3
Logo,
satisfaz Cauchy–Riemann em todo ponto que não seja a origem, isto é, em
.
Passo 4
Para
com
as derivadas parciais são
Aqui nunca se tem simultaneamente
e
(exceto em pontos isolados não formando domínio), portanto não há região onde
seja analítica.
Resposta
Para
: analítica em qualquer domínio que não contenha a origem (
). Para
: não existe ponto onde seja analítica.