Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar e calcular a área delimitada pelas curvas y = x² e y = x + 2. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre duas curvas, e vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção entre as duas funções;
- Identificar qual delas fica acima no intervalo;
- Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas curvas:
Isso dá a equação quadrática:
Cuja solução é
logo x = 2 e x = -1.
Passo 3
Antes de montar a integral, vemos quem está acima no intervalo [−1,2]. Por exemplo, em x=0 temos y_parábola=0 e y_reta=2, então y = x + 2 é a curva superior e y = x² é a inferior. Ao esboçar, a reta corta a parábola em (-1,1) e (2,4).
Passo 4
A área entre as curvas é dada por
Calculando a primitiva:
Passo 5
Agora avaliamos de -1 a 2:
Em x=2:
Em x=2:
Em x=-1:
Diferença: