Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área delimitada pelas curvas y = x² e y = x + 2. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre duas curvas, e vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção entre as duas funções;
  2. Identificar qual delas fica acima no intervalo;
  3. Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas curvas:
x^2 = x + 2
Isso dá a equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0
Cuja solução é
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo x = 2 e x = -1.

Passo 3

Antes de montar a integral, vemos quem está acima no intervalo [−1,2]. Por exemplo, em x=0 temos y_parábola=0 e y_reta=2, então y = x + 2 é a curva superior e y = x² é a inferior. Ao esboçar, a reta corta a parábola em (-1,1) e (2,4).

Passo 4

A área entre as curvas é dada por
A = integral-1^2 l[(x+2) - x^2r] , dx
Calculando a primitiva:
integral (x + 2 - x^2),dx = x^22 + 2x - x^33

Passo 5

Agora avaliamos de -1 a 2:
Em x=2:
2^22 + 2cdot2 - 2^33 = 2 + 4 - 83 = 6 - 83 = 103
Em x=-1:
(-1)^22 + 2(-1) - (-1)^33 = 12 - 2 + 13 = -76
Diferença:
A = 103 - l(-tfrac76r) = 103 + 76 = 276 = 92

Resposta

tfrac92 unidades de área

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