Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y^{\prime}=12-2 y
y^{\prime}=12-2 y
Passo 1
A equação diferencial dada é
que é uma equação autônoma de primeira ordem. Vamos estudar seus pontos de equilíbrio, a estabilidade, desenhar a reta de fase, o campo de direções e algumas curvas integrais. Para isso precisaremos da definição de ponto de equilíbrio (onde
), da análise de estabilidade via
, e da solução geral da ODE.
Passo 2
Precisamos achar onde
. Resolvendo:
obtemos
Portanto o único ponto de equilíbrio é
.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de
:
Em particular,
. Como a derivada é negativa, o ponto
é assintoticamente estável (pequenas perturbações fazem
voltar para 6).
Passo 4
Na reta de fase em torno de
:
- Se
, então , ou seja e as setas apontam para cima (crescimento de ). - Se
, então , ou seja e as setas apontam para baixo (decrescimento de ).
Isso confirma que as soluções são atraídas para.
Passo 5
Para o campo de direções, em cada ponto
desenhamos um pequeno segmento com inclinação
. As curvas integrais, que são as soluções gerais, vêm da separação de variáveis:
Leva a
e isolando
:
com
constante de integração. Essas curvas tendem exponencialmente a
quando
.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é y=6, que é assintoticamente estável.