Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y^{\prime}=12-2 y

Passo 1

A equação diferencial dada é
y'=12-2y
que é uma equação autônoma de primeira ordem. Vamos estudar seus pontos de equilíbrio, a estabilidade, desenhar a reta de fase, o campo de direções e algumas curvas integrais. Para isso precisaremos da definição de ponto de equilíbrio (onde y'=0), da análise de estabilidade via f'(y), e da solução geral da ODE.

Passo 2

Precisamos achar onde y'=12-2y=0. Resolvendo:
12-2y=0
obtemos
y=6
Portanto o único ponto de equilíbrio é y^*=6.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de f(y)=12-2y:
f'(y)=-2
Em particular, f'(6)=-2<0. Como a derivada é negativa, o ponto y=6 é assintoticamente estável (pequenas perturbações fazem y(t) voltar para 6).

Passo 4

Na reta de fase em torno de y=6:
  • Se y<6, então 12-2y>0, ou seja y'!>0 e as setas apontam para cima (crescimento de y).
  • Se y>6, então 12-2y<0, ou seja y'!<0 e as setas apontam para baixo (decrescimento de y).
    Isso confirma que as soluções são atraídas para y=6.

Passo 5

Para o campo de direções, em cada ponto (t,y) desenhamos um pequeno segmento com inclinação 12-2y. As curvas integrais, que são as soluções gerais, vêm da separação de variáveis:
dydt=12-2y
integraldy12-2y=integral dt
Leva a
-tfrac12ln|12-2y|=t+C1
e isolando y(t):
y(t)=C e^-2t+6
com C constante de integração. Essas curvas tendem exponencialmente a 6 quando tto+infty.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=6, que é assintoticamente estável.

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