Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\operatorname{arctg}(x)\
Passo 1
A gente quer achar a expansão em série de potências de em torno de zero e também encontrar o raio de convergência. O assunto aqui é séries de Taylor (ou Maclaurin, já que o centro é zero) e vamos precisar usar a derivada de e a série geométrica.
Passo 2
Começamos lembrando que . Para , podemos usar a expansão da série geométrica . Substituindo obtemos:
Passo 3
Agora integramos termo a termo de zero até , já que . Como , o termo constante é zero. Então:
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão a . Vendo apenas a parte em :
Essa razão é menor que 1 se e somente se |x|^2<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
Passo 5
Reunindo tudo, a expansão em série de potências de em torno de zero fica: