Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\operatorname{arctg}(x)\

Passo 1

A gente quer achar a expansão em série de potências de em torno de zero e também encontrar o raio de convergência. O assunto aqui é séries de Taylor (ou Maclaurin, já que o centro é zero) e vamos precisar usar a derivada de e a série geométrica.

Passo 2

Começamos lembrando que f'(x)=11+x^2. Para |x|<1, podemos usar a expansão da série geométrica 11+z=sumn=0^infty(-1)^n z^n. Substituindo z=x^2 obtemos:
f'(x)=11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo de zero até x, já que f(x)=integral0^x f'(t),dt+f(0). Como , o termo constante arctg(0)=0 é zero. Então:
f(0)

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a an=(-1)^nx^2n+12n+1. Vendo apenas a parte em x:
limntoinfty|x^2(n+1)+12(n+1)+1,g/x^2n+12n+1|=limntoinfty|x|^22n+12n+3=|x|^2
Essa razão é menor que 1 se e somente se |x|^2<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Passo 5

Reunindo tudo, a expansão em série de potências de em torno de zero fica:

Resposta

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