Seja G(s), em que s=sigma+j omega, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule G(j omega)=X+j Y, identificando as partes real X e imaginária Y. Considere T, L, omegan e zeta constantes reais.
G(s)=1s(T s+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a resposta em frequência de
G(s)=1/(s(Ts+1)), ou seja calcular G(jω)=X+jY e identificar X e Y. O conteúdo é resposta de frequência de sistemas LTI, e vamos precisar substituir s=jω e usar a técnica de multiplicar por conjugado para separar parte real e imaginária.

Passo 2

Substituímos s por jω para obter
G(jomega)=1jomegal(1+jTomegar) Em seguida expandimos o denominador:
jomegal(1+jTomegar)=jomega+j^2Tomega^2=-Tomega^2+jomega

Passo 3

Para isolar as partes real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
-Tomega^2+jomega, que é
-Tomega^2-jomega. Assim obtemos:
G(jomega)=1cdotl(-Tomega^2-jomegar)l(-Tomega^2+jomegar)l(-Tomega^2-jomegar)=-Tomega^2-jomegaT^2omega^4+omega^2

Passo 4

Agora dividimos cada termo do numerador pelo denominador comum e simplificamos:
X=-Tomega^2T^2omega^4+omega^2=-TT^2omega^2+1,
Y=-omegaT^2omega^4+omega^2=-1omega,(T^2omega^2+1)

Resposta

As partes real e imaginária de G(jω) são:
X=−T/(T²ω²+1)
Y=−1/[ω(T²ω²+1)]

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