Escreva a série de Maclaurin que converge para cada uma das funções abaixo, para na região convergência descrita. ;
Passo 1
O enunciado pede para escrever a série de Maclaurin de , ou seja, a expansão em torno de zero, e determinar sua região de convergência (já informada como , mas vamos confirmá-la). Vamos usar a definição de série de Taylor/Maclaurin e o cálculo de derivadas de em .
Passo 2
A definição de série de Maclaurin diz que para uma função holomorfa valemos-nos de
Então precisamos calcular as derivadas de avaliadas em zero.
Passo 3
As derivadas de seguem o ciclo:
Avaliações em :
Portanto somente as derivadas de ordem ímpar são não-nulas, e temos
Substituindo na série:
Passo 4
Para a região de convergência, aplicamos o teste da razão a . Tem-se
Como o limite é zero, a série converge para todo zinC, ou seja, |z|.
Resposta
A série de Maclaurin de sin(z) é:
sin(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+1(2n+1)!,
válida para todo z, i.e., raio de convergência infinito.