Escreva a série de Maclaurin que converge para cada uma das funções abaixo, para z na região convergência descrita.
sen(z) ;|z|;

Passo 1

O enunciado pede para escrever a série de Maclaurin de sin(z), ou seja, a expansão em torno de zero, e determinar sua região de convergência (já informada como |z|, mas vamos confirmá-la). Vamos usar a definição de série de Taylor/Maclaurin e o cálculo de derivadas de sin(z) em z=0.

Passo 2

A definição de série de Maclaurin diz que para uma função holomorfa f(z) valemos-nos de
f(z)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,z^n
Então precisamos calcular as derivadas de sin(z) avaliadas em zero.

Passo 3

As derivadas de sin(z) seguem o ciclo:
sin(z),;cos(z),;-sin(z),;-cos(z),;sin(z),;dots
Avaliações em z=0:
sin(0)=0, cos(0)=1, -sin(0)=0, -cos(0)=-1, dots
Portanto somente as derivadas de ordem ímpar são não-nulas, e temos
f^(2n+1)(0)=(-1)^n, f^(2n)(0)=0
Substituindo na série:
sin(z)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,z^2n+1

Passo 4

Para a região de convergência, aplicamos o teste da razão a an=(-1)^n(2n+1)!z^2n+1. Tem-se
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|z|^2(n+1)+1/(2n+3)!|z|^2n+1/(2n+1)! =limntoinfty|z|^2(2n+2)(2n+3) =0
Como o limite é zero, a série converge para todo zinC, ou seja, |z|.

Resposta

A série de Maclaurin de sin(z) é:
sin(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+1(2n+1)!,
válida para todo z, i.e., raio de convergência infinito.

Exercícios relacionados